2021-天津卷-06 单-球与接切

本题导读

本题考查球的体积公式，以及球与几何体的接切问题。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32\pi }{3}$，两个圆锥的高之比为 $1:3$，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $9\pi$　　　　　　　D. $12\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

处理球与旋转体（圆柱、圆锥）的接切问题，最核心的思路是**“空间问题平面化”——即作出通过球心和圆锥轴线的轴截面**。

本题解题思路如下：

1. 求出球的半径：利用球的体积公式直接逆推出球的半径 $R$ 和直径 $2R$。

2. 确定高之和：因为两个圆锥共用同一个截面作为底面，且顶点都在球面上，所以这两个顶点所在连线必然穿过底面圆心和球心。两圆锥的高之和恰好等于球的直径。

3. 求解底面半径：作出轴截面，截面是一个大圆和内接三角形。利用直角三角形中的射影定理（或相似三角形），算出底面圆的半径的平方 $r^2$。

4. 计算体积和：利用圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，提取公因式后整体代入即可。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算球的半径

设球的半径为 $R$。由球的体积公式得：

$V_{\text{球}}=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{32\pi }{3}$

解得：$R^3=8$，故 $R=2$。

所以球的直径为 $4$。

第二步：确定圆锥的高

设两个圆锥的底面圆心为点 $D$，两个圆锥的顶点分别为 $A$ 和 $B$。

因为两个圆锥共底面且顶点在球面上，所以 $AB$ 连线必定垂直于底面，且穿过球心，即 $AB$ 为球的直径。

所以 $AB=AD+BD=2R=4$。

已知两个圆锥的高之比为 $3:1$，即 $AD=3BD$。

代入得：$4BD=4$，解得 $BD=1$，$AD=3$。

第三步：计算圆锥底面半径

作出球的轴截面（大圆）。设底面圆的半径为 $r=CD$（$C$ 为底面圆周上一点），则 $CD\perp AB$。

由于 $AB$ 为直径，故 $\angle ACB=90^{\circ }$。

在 $\text{Rt}△ACB$ 中，$CD$ 为斜边上的高，根据射影定理（也可通过 $△ACD\sim △CBD$ 证明）：

$C{D}^2=AD\cdot BD$

代入数据得：$r^2=C{D}^2=3\times 1=3$。

(注：相似三角形证明过程：因为 $\angle CAD+\angle ACD=90^{\circ }$，$\angle BCD+\angle ACD=90^{\circ }$，所以 $\angle CAD=\angle BCD$。又 $\angle ADC=\angle BDC=90^{\circ }$，所以 $△ACD\sim △CBD$，故 $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即 $C{D}^2=AD\cdot BD$。)

第四步：计算体积之和

两个圆锥的体积之和为：

V_{\text{总}} = V_1 + V_2$$$$V_{\text{总}} = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot AD + \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot BD

提取公因式 $\frac{1}{3}\pi r^2$：

V_{\text{总}} = \frac{1}{3}\pi r^2 (AD + BD)$$$$V_{\text{总}} = \frac{1}{3}\pi \times 3 \times 4 = 4\pi

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 球的截面性质：球面上任意一个非大圆的截面，其圆心与球心的连线垂直于该截面。

2. 空间问题平面化（化繁为简）：立体几何中只要遇到球内接圆柱、圆锥的问题，第一步永远是画轴截面图。将球变成圆，圆锥变成等腰三角形，圆柱变成矩形。

3. 母子直角三角形与射影定理：在圆内，直径所对的圆周角是直角。从直角顶点向斜边作垂线，形成的两个小直角三角形与大直角三角形相似，导出极其好用的结论：$h^2=a\cdot b$ （高平方等于斜边两段乘积），这在解决球截面问题时极为高频。

1. 视角的转化：相交弦定理

在上述第三步求 $r^2$ 时，除了用射影定理，还可以直接使用初中几何中的相交弦定理。

把底面圆的一条直径看作弦 $EF$，那么弦 $AB$（球的直径）与弦 $EF$ 交于点 $D$。

根据相交弦定理：$AD\cdot BD=ED\cdot FD$。

因为 $ED=FD=r$（底面圆半径），所以 $r^2=AD\cdot BD=3\times 1=3$。

这种视角更代数化，连辅助线（连结 AC、BC）都可以省去，真正做到“快速求解”。

2. 进阶考法：球内接圆锥的最值问题

高考中常考的进阶变形是：已知球的半径 $R$，求内接圆锥的最大体积。

结论与推导：设圆锥的高为 $x\in (0,2R)$，底面半径为 $r$。

由射影定理 $r^2=x(2R-x)$。

圆锥体积 $V(x)=\frac{1}{3}\pi x(2R-x)\cdot x=\frac{\pi }{3}(2R{x}^2-x^3)$。

利用导数求极值：$V^{\prime }(x)=\frac{\pi }{3}(4Rx-3x^2)=0$，解得 $x=\frac{4}{3}R$。

即：当圆锥的高等于球直径的 $\frac{2}{3}$ 时，其体积最大。 （这个二级结论在填空题中可以直接使用。）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 1995-全国卷理-17
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积