2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积

本题导读

本题考查球的截面性质，以及球的体积。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 平面 $\alpha$ 截球 $O$ 的球面所得圆的半径为 $1$，球心 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则此球的体积为()

A. $\sqrt{6}\pi$　　　　　　　B. $4\sqrt{3}\pi$　　　　　　　C. $4\sqrt{6}\pi$　　　　　　　D. $6\sqrt{3}\pi$

🔍【思路分析】

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$R^2=r^2+d^2=1+2=3$，$R=\sqrt{3}$，$V=4\sqrt{3}\pi$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，截面圆半径 $r=1$，球心到截面距离 $d=\sqrt{2}$。

由球的截面性质：$R^2=r^2+d^2=1+2=3$，$R=\sqrt{3}$。

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆性质（$R^2=r^2+d^2$）；球的体积公式

核心方法：直角三角形（球心—截面圆心—截面圆上一点）求 $R$

避坑指南：$R^2=r^2+d^2$ 别与 $R=r+d$ 混淆；$R^3$ 计算时 $(\sqrt{3}{)}^3=3\sqrt{3}$，系数 $\frac{4}{3}$ 别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球截面求体积基础题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 15 题（球截面与表面积）同族。

结论推广：一般地，已知截面圆半径 $r$ 与球心距 $d$，$R=\sqrt{r^2+d^2}$，进而可求体积、表面积。

方法推广：球的问题几乎都化归到一个直角三角形：斜边 $R$、直角边 $r$ 与 $d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式