2021-天津卷-09 单-函数零点

本题导读

本题考查分段函数的图像与性质，以及三角函数的零点。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）9．设 $a\in \mathbf{R}$，函数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos (2\pi x-2\pi a),& x<a\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5,& x\ge a\end{array}$

若 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内恰有 6 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

A. $\left(2,\frac{9}{4}\right]\cup \left(\frac{5}{2},\frac{11}{4}\right]$　　　　　　B. $\left(\frac{7}{4},2\right)\cup \left(\frac{5}{2},\frac{11}{4}\right)$

C. $\left(2,\frac{9}{4}\right]\cup \left[\frac{11}{4},3\right)$　　　　　　D. $\left(\frac{7}{4},2\right)\cup \left[\frac{11}{4},3\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

处理此类“分段函数零点个数”问题，基本策略是**“分而治之，再行组合”**：

1. 分析各段的最大零点数：

   • 下半段是二次函数 $g(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+5$，一个二次方程最多只有 2 个 实数根。

   • 题目要求在 $(0,+\infty )$ 内总共有 6 个零点，因此上半段（三角函数部分）至少需要提供 4 个 零点。

2. 探究三角函数段（$0<x<a$）的零点分布：

   • 令 $\cos (2\pi x-2\pi a)=0$，解出 $x$ 的通项公式（含整数 $k$）。

   • 结合定义域 $0<x<a$，求出 $k$ 的范围，从而推导出包含 4 个、5 个、6 个零点时对应的 $a$ 的范围。

3. 探究二次函数段（$x\ge a$）的零点分布：

   • 结合判别式 $\Delta$、对称轴 $x=a+1$ 和端点值 $g(a)$，分类讨论该二次函数在 $[a,+\infty )$ 上有 0 个、1 个、2 个零点时参数 $a$ 的取值范围。

4. 组合与筛选：

   • 要凑齐 6 个零点，可能的组合有：“4 + 2”、“5 + 1” 或 “6 + 0”。

   • 将上述两部分的结论进行交集运算，最终并起来即可得到答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整体拆分与定性分析

因为对于二次方程 $x^2-2(a+1)x+a^2+5=0$ 而言，最多只有 2 个根，

要使总函数在 $(0,+\infty )$ 内恰有 6 个零点，则当 $0<x<a$ 时，方程 $\cos (2\pi x-2\pi a)=0$ 至少要有 4 个根。

第二步：分析三角函数段（$0<x<a$）的零点

令 $\cos (2\pi x-2\pi a)=0$，则有：

$2\pi x-2\pi a=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

解得：

$x=a+\frac{k}{2}+\frac{1}{4},k\in \mathbf{Z}$

因为零点必须在区间 $(0,a)$ 内（题目要求 $x>0$ 且该段定义为 $x<a$），所以：

$0<a+\frac{k}{2}+\frac{1}{4}<a$

两边同时减去 $a+\frac{1}{4}$，并乘以 $2$，得到关于整数 $k$ 的范围：

$-2a-\frac{1}{2}<k<-\frac{1}{2}$

由于 $k$ 是整数，且 $k<-0.5$，所以 $k$ 的最大取值为 $-1$。

根的个数取决于区间 $(-2a-\frac{1}{2},-0.5)$ 内包含了多少个负整数。

• 若有 4个零点（$k$ 取 $-1,-2,-3,-4$），则须满足 $-5\le -2a-\frac{1}{2}<-4$，解得 $\frac{7}{4}<a\le \frac{9}{4}$；

• 若有 5个零点（$k$ 取 $-1,-2,-3,-4,-5$），则须满足 $-6\le -2a-\frac{1}{2}<-5$，解得 $\frac{9}{4}<a\le \frac{11}{4}$；

• 若有 6个零点（$k$ 取 $-1,\dots ,-6$），则须满足 $-7\le -2a-\frac{1}{2}<-6$，解得 $\frac{11}{4}<a\le \frac{13}{4}$。

第三步：分析二次函数段（$x\ge a$）的零点

设 $g(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+5$。

首先计算判别式：

$\Delta =4(a+1{)}^2-4(a^2+5)=8(a-2)$

其次观察对称轴：$x=a+1$，由于 $a+1>a$ 恒成立，所以对称轴始终在区间 $[a,+\infty )$ 的内部。

再计算端点值：$g(a)=a^2-2(a+1)a+a^2+5=-2a+5$。

接下来分类讨论根在 $[a,+\infty )$ 上的个数：

1. 无零点 (0个根)：$\Delta <0⟹8(a-2)<0⟹a<2$；

2. 有 1 个零点：

   • 恰有 1 个等根：$\Delta =0⟹a=2$（此时根为 $x=3>2$，满足条件）；

   • 有 2 个异根，但只有一个在 $[a,+\infty )$ 内：由于对称轴在 $a$ 的右侧，要使只有一个根在 $[a,+\infty )$，必须满足端点值 $g(a)<0⟹-2a+5<0⟹a>\frac{5}{2}$。

     综合得：$a=2$ 或 $a>\frac{5}{2}$。

3. 有 2 个零点：需要满足 $\Delta >0$ 且 $g(a)\ge 0$。

   • $\Delta >0⟹a>2$

   • $g(a)\ge 0⟹-2a+5\ge 0⟹a\le \frac{5}{2}$

     综合得：$2<a\le \frac{5}{2}$。

第四步：组合讨论，总计 6 个零点

要使总零点数为 6，只有以下三种搭配方式：

• 情形一：上半段 4个 + 下半段 2个

  $\{\begin{array}{l}\frac{7}{4}<a\le \frac{9}{4}\\ 2<a\le \frac{5}{2}\end{array}⟹2<a\le \frac{9}{4}$

• 情形二：上半段 5个 + 下半段 1个

  $\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}<a\le \frac{11}{4}\\ a=2\text{ 或 }a>\frac{5}{2}\end{array}⟹\frac{5}{2}<a\le \frac{11}{4}$

• 情形三：上半段 6个 + 下半段 0个

  $\{\begin{array}{l}\frac{11}{4}<a\le \frac{13}{4}\\ a<2\end{array}⟹\text{无解}$

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(2,\frac{9}{4}\right]\cup \left(\frac{5}{2},\frac{11}{4}\right]$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 含参三角函数零点问题：遇到 $\cos (\omega x+\varphi )=0$ 求解根的个数时，核心手法是将内层角作为一个整体，求出其表达式，进而写出 $x$ 的通项公式（带整数 $k$），然后将 $x$ 代入定义域限制区间，转化为对整数 $k$ 的个数的讨论。这是解决此类问题屡试不爽的通法。

2. 二次函数根的分布（闭区间/半开区间）：判断二次方程在特定区间内的根数，必须牢记“三板斧”：① 判别式 $\Delta$；② 对称轴的位置；③ 区间端点函数值的正负（端点效应）。本题中由于对称轴 $x=a+1$ 必然大于端点 $a$，大大简化了讨论的复杂性。

3. 分段组合思想：总条件拆分成若干个子条件的排列组合，分别计算后再取交集与并集，体现了数学中严密的逻辑划分能力。在书写草稿时，画一个表格（如左列列出一段的根数，右列列出另一段的根数）可以有效避免遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题融合了高中数学中两个非常经典且易错的“根的分布”模型，在此进行系统化梳理，建议作为公式库熟记：

若要求解 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )=0$ 在区间 $x\in (m,n)$ 内的零点个数，标准流程如下：

1. 换元化简：令 $t=\omega x+\varphi$，根据 $x\in (m,n)$ 求出 $t$ 的取值范围，设为 $t\in (t_1,t_2)$。

2. 寻找特殊值：因为 $\cos t=0$ 的根为 $t=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$，问题转化为求有多少个 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ 落在了区间 $(t_1,t_2)$ 内。

3. 解不等式求整：建立不等式 $t_1<k\pi +\frac{\pi }{2}<t_2$，解出 $k$ 的取值范围，其中的整数解的个数即为零点的个数。

对于二次函数 $f(x)=A{x}^2+Bx+C(A>0)$，探讨其在区间 $(m,+\infty )$ 上的零点个数：

1. 有两个不相等的实数根均在 $(m,+\infty )$ 内，需同时满足：

   • $\Delta =B^2-4AC>0$ （保证有两根）

   • $-\frac{B}{2A}>m$ （对称轴在区间内）

   • $f(m)>0$ （端点函数值大于0，把根“逼”进区间）

2. 仅有一个实数根在 $(m,+\infty )$ 内（另一根在区间外），最常见的情况是：

   • $f(m)<0$ （此时无需看 $\Delta$ 和对称轴，根据连续函数零点定理，必定有一根在 $(m,+\infty )$ 内，另一根在 $(-\infty ,m)$ 内）。

   • (注意特例：若另一根恰好为 $m$，则 $f(m)=0$，需单独检验剩余一根是否大于 $m$；若为两相等实根，则回到 $\Delta =0$ 的讨论)。

在本题的“第三步”中，正是严格遵循了这一套逻辑对 $x\ge a$ 这一半开区间进行了无遗漏的分类讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.14 恒成立问题——端点效应

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-07 单-分段函数零点个数
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2014-重庆卷文-10 单-分段函数零点