2010-福建卷文-07 单-分段函数零点个数

本题导读

考查零点个数。$x⩽0$ 段零点 $x=-3$；$x>0$ 段零点 $x={\mathrm{e}}^2$；共 $2$ 个，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x-3,& x⩽0,\\ -2+\ln x,& x>0\end{array}$ 的零点个数为()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩽0$：$x^2+2x-3=0$ 得 $x=1$ 或 $x=-3$，只有 $x=-3⩽0$ 合定义域。
2. $x>0$：$-2+\ln x=0$ 得 $x={\mathrm{e}}^2>0$ 合定义域。
3. 共 $2$ 个零点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时，由 $x^2+2x-3=0$ 得 $(x+3)(x-1)=0$，$x=-3$ 或 $x=1$； 因 $x=1>0$ 不在该段定义域内，舍去，该段有零点 $x=-3$. 当 $x>0$ 时，由 $-2+\ln x=0$ 得 $x={\mathrm{e}}^2>0$，合定义域，该段有零点 $x={\mathrm{e}}^2$. 因此函数共有 $2$ 个零点，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的零点个数

核心方法：两段分别在各自定义域内解方程并验根

避坑指南：$x^2+2x-3=0$ 的根 $x=1$ 落在 $x>0$ 段的定义域之外必须舍去；对数段 $-2+\ln x=0$ 的根 $x={\mathrm{e}}^2$ 要回验 $x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数零点按段讨论，“解出的根必须落在本段定义域内”是验根铁律。

结论推广：$\ln x$ 型的零点直接化指数式 $x={\mathrm{e}}^k$。

方法推广：零点个数问题也可图象法：两段图象与 $x$ 轴交点数相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数