2021-天津卷-14 填-独立重复试验

本题导读

本题考查相互独立事件同时发生的概率乘法公。核心在于分步拆解法、正难则反（或直接分类讨论）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响。

则一次活动中，甲获胜的概率为____________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

概率题最核心的步骤是**“翻译”**——将自然语言翻译成数学公式。

第一空（单次活动）：

1. 提取条件：“甲获胜”。

2. 翻译规则：题目明确规定，获胜的条件是**“一方猜对且另一方猜错”**。

3. 转化为数学语言：甲获胜 = (甲猜对) 且 (乙猜错)。

4. 运用公式：因为两人互不影响（相互独立），所以 $P(\text{甲获胜})=P(\text{甲猜对})\times P(\text{乙猜错})$。

第二空（多次活动）：

1. 提取条件：“3次活动中，甲至少获胜2次”。

2. 识别模型：“各次活动也互不影响”且每次获胜概率固定，这是标准的 $n$次独立重复试验（即二项分布模型，设甲获胜次数为 $X$，则 $X\sim B(n,p)$）。

3. 翻译规则：“至少2次” 包含两种互斥情况：恰好2次、恰好3次。

4. 运用公式：$P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=C_3^2{p}^2(1-p{)}^1+C_3^3{p}^3(1-p{)}^0$。

✅【答案】

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① $\frac{2}{3}$ ； ② $\frac{20}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求一次活动中甲获胜的概率

记事件 $A$ 为“甲猜对”，事件 $B$ 为“乙猜对”。

由题意知，两者相互独立，且 $P(A)=\frac{5}{6}$， $P(B)=\frac{1}{5}$。

乙猜错的概率（即事件 $\bar{B}$）为：

$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

“甲获胜”意味着“甲猜对且乙猜错”，即事件 $A\bar{B}$ 发生。

所以一次活动中，甲获胜的概率 $p$ 为：

$p=P(A\bar{B})=P(A)\times P(\bar{B})=\frac{5}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{3}$

(第一空答案为 $\frac{2}{3}$)

第二步：求3次活动中甲至少获胜2次的概率

在3次独立重复试验中，每次甲获胜的概率均为 $p=\frac{2}{3}$。

设3次活动中甲获胜的次数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。

“甲至少获胜2次”即 $X\ge 2$，分为两种互斥情况：

1. 甲恰好获胜2次 ($X=2$)：3次中挑出2次获胜，1次没获胜。

   $P(X=2)=C_3^2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times {\left(1-\frac{2}{3}\right)}^1=3\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{3}=\frac{12}{27}$

2. 甲恰好获胜3次 ($X=3$)：3次全获胜。

   $P(X=3)=C_3^3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^3\times {\left(1-\frac{2}{3}\right)}^0=1\times \frac{8}{27}\times 1=\frac{8}{27}$

根据互斥事件的加法公式，两者相加得：

$P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{12}{27}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$

(第二空答案为 $\frac{20}{27}$)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 概念混淆陷阱：很多学生在算第一问时，直接把“甲获胜”等同于“甲猜对”（直接填 $\frac{5}{6}$），忽略了题目中“另一方猜错”这个必要条件。在概率题中，一定要逐字阅读游戏规则。

2. 漏乘组合数陷阱：在算恰好获胜2次时，学生容易写成 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，忘记了乘以组合数 $C_3^2$。必须明白：前两次赢第三次输、第一三次赢第二次输、后两次赢第一次输，这是 3种不同的情况，必须用组合数囊括进来。

📖【试题探源与推广】

Tip

期望（均值）的快速求解：

如果题目增加一问：“求3次活动中甲获胜次数的数学期望（平均值）”，千万不要傻傻地去列分布列算 $E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)$。

只要识别出这是二项分布 $X\sim B(n,p)$，直接套用期望公式：

$E(X)=np$

本题中 $n=3,p=\frac{2}{3}$，所以 $E(X)=3\times \frac{2}{3}=2$ 次。

也就是说，进行3次活动，甲平均能赢2次。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率