2021-天津卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于正弦定理、余弦定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$．

（I）求 $a$ 的值；

（II）求 $\cos C$ 的值；

（III）求 $\sin \left(2C-\frac{\pi }{6}\right)$ 的值．

🔍【思路分析】

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1. 第一步（求边）：利用正弦定理 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$，根据已知的比值和 $b$ 的长度，直接算出 $a$ 和 $c$。

2. 第二步（求角）：已知三边长度，直接套用余弦定理公式求出 $\cos C$。

3. 第三步（变换）：

   • 由 $\cos C$ 求出 $\sin C$（注意三角形内角正弦恒为正）。

   • 利用二倍角公式计算出 $2C$ 的正弦和余弦值。

   • 利用两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )$ 展开并代值。

✅【答案】

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（I）$a=2\sqrt{2}$

（II）$\cos C=\frac{3}{4}$

（III）$\sin \left(2C-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3\sqrt{21}-1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求 $a$ 的值

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得：

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$

因为 $b=\sqrt{2}$，

所以 $a=2b=2\sqrt{2}$，且 $c=\sqrt{2}b=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$．

（II）求 $\cos C$ 的值

由（I）知 $a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2},c=2$，

由余弦定理可得：

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

代入数据得：

$\cos C=\frac{(2\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2-2^2}{2\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{8+2-4}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

（III）求 $\sin \left(2C-\frac{\pi }{6}\right)$ 的值

因为 $\cos C=\frac{3}{4}$ 且 $C\in (0,\pi )$，

所以 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$．

由此可得二倍角：

\sin 2C = 2 \sin C \cos C = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$$$$\cos 2C = 2 \cos^2 C - 1 = 2 \times \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8}

根据两角差的正弦公式：

\sin \left( 2C - \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2C \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2C \sin \frac{\pi}{6}$$$$= \frac{3\sqrt{7}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{2}$$$$= \frac{3\sqrt{21} - 1}{16}

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 边角互化：这是解三角形的灵魂。看到比例给角，想正弦定理；看到平方关系或已知三边，想余弦定理。

2. 细节陷阱：在使用 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}$ 时，理论上要判断正负，但在 $△ABC$ 中，$\sin C$ 永远大于 $0$，这一点在做题时可直接应用。

3. 公式记忆：二倍角公式和两角差公式是高频考点，必须达到“熟练掌握”的程度，避免在计算展开式时出现符号或系数错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-17 解-解三角形等差
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2009-北京卷理-15