2013-江西卷文-17 解-解三角形等差

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角互化、整体代入的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin A\sin B+\sin B\sin C+\cos 2B=1$.

(1)求证：$a$，$b$，$c$ 成等差数列；

(2)若 $C=\frac{2\pi }{3}$，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 原式 $\Rightarrow \sin B(\sin A+\sin C)=1-\cos 2B=2{\sin }^{2}B$ → $\sin A+\sin C=2\sin B$ → $a+c=2b$。
2. $(2)$ $c=2b-a$，$\cos C=-\frac{1}{2}$：$a^2+b^2-c^2=-ab$ → 代入化简 $5ab=3b^2$ → $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由已知 $\sin B(\sin A+\sin C)=1-\cos 2B=2{\sin }^{2}B.$ 因 $B\in (0,\pi )$，$\sin B\ne 0$，两边同除 $\sin B$： $\sin A+\sin C=2\sin B.$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，得 $a+c=2b,$ 即 $2b=a+c$，所以 $a$，$b$，$c$ 成等差数列。 （2） 由（1）$c=2b-a$。$C=\frac{2\pi }{3}$，$\cos C=-\frac{1}{2}$： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-(2b-a{)}^2}{2ab}=-\frac{1}{2}.$ 分子展开：$a^2+b^2-4b^2+4ab-a^2=4ab-3b^2$，故 $\frac{4ab-3b^2}{2ab}=-\frac{1}{2}\Rightarrow 4ab-3b^2=-ab\Rightarrow 5ab=3b^2.$ $b\ne 0$，所以 $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边化角 + 等差数列证明 + 余弦定理求比

核心方法：$(1)$ $\sin B(\sin A+\sin C)=1-\cos 2B=2{\sin }^{2}B$ → $\sin A+\sin C=2\sin B$ → $a+c=2b$；$(2)$ $c=2b-a$ 代入 $\cos C=-\frac{1}{2}$：$5ab=3b^2$ → $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$

避坑指南：“成等差数列”的证明落点是边的关系 $a+c=2b$，用正弦定理把角化边（$\sin B\ne 0$ 可约）；求 $a/b$ 时消元方向选”$c=2b-a$ 代入余弦定理”，得到的是 $b$ 与 $a$ 的齐次式，两边同除 $b^2$ 即可——别试图先解出各边具体值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形（边角互化 + 等差结构 + 余弦定理）。

结论推广：边化角 / 角化边；余弦定理整体代入。

方法推广：和差化积约 $\sin B$ → 等差关系 → 代入特殊角余弦 → 齐次式求比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角