2021-天津卷-17 解-立几综合

本题导读

本题考查空间直角坐标系。核心在于向量建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年天津卷）17. 如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为棱 $BC$ 的中点，$F$ 为棱 $CD$ 的中点．

（I）求证：$D_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}E{C}_1$；

（II）求直线 $A{C}_1$ 与平面 $A_{1}E{C}_1$ 所成角的正弦值；

（III）求二面角 $A-A_1{C}_1-E$ 的正弦值．

本题是标准的立体几何“坐标法”套路题。

• 第一问（线面平行）： 建立空间直角坐标系后，分别求出直线方向向量 $\overrightarrow{D_{1}F}$ 以及平面 $A_{1}E{C}_1$ 的法向量 $\overrightarrow{m}$，只需证明 $\overrightarrow{D_{1}F}\cdot \overrightarrow{m}=0$，且该直线不在平面内即可。

• 第二问（线面角）： 线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即 $\sin \theta =\left|\cos ⟨\overrightarrow{m},\overrightarrow{A{C}_1}⟩\right|$。

• 第三问（二面角）： 分别求出两个平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值。最后利用同角三角函数的平方关系（${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$）将其转化为正弦值。

（I）以 $A$ 为原点，$AB,AD,A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴，建立空间直角坐标系，

则 $A(0,0,0)$, $A_1(0,0,2)$, $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$, $C_1(2,2,2)$, $D_1(0,2,2)$。

因为 $E$ 为棱 $BC$ 的中点，$F$ 为棱 $CD$ 的中点，所以 $E(2,1,0)$，$F(1,2,0)$。

所以 $\overrightarrow{D_{1}F}=(1,0,-2)$, $\overrightarrow{A_1{C}_1}=(2,2,0)$, $\overrightarrow{A_{1}E}=(2,1,-2)$。

设平面 $A_{1}E{C}_1$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{m}=(x_1,y_1,z_1)$，则：

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{A_1{C}_1}=2x_1+2y_1=0\\ \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=2x_1+y_1-2z_1=0\end{array}$

令 $x_1=2$，则 $\overrightarrow{m}=(2,-2,1)$。

因为 $\overrightarrow{D_{1}F}\cdot \overrightarrow{m}=1\times 2+0\times (-2)+(-2)\times 1=0$，所以 $\overrightarrow{D_{1}F}\perp \overrightarrow{m}$。

又因为 $D_{1}F\not\subset$ 平面 $A_{1}E{C}_1$，所以 $D_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}E{C}_1$。

（II）由（I）得，$\overrightarrow{A{C}_1}=(2,2,2)$。

设直线 $A{C}_1$ 与平面 $A_{1}E{C}_1$ 所成角为 $\theta$，则：

$\sin \theta =\left|\cos ⟨\overrightarrow{m},\overrightarrow{A{C}_1}⟩\right|=\left|\frac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}}{|\overrightarrow{m}|\cdot |\overrightarrow{A{C}_1}|}\right|=\frac{2}{3\times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$

（III）由正方体的特征可得，平面 $A{A}_1{C}_1$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{DB}=(2,-2,0)$。

则：

$\cos ⟨\overrightarrow{DB},\overrightarrow{m}⟩=\frac{\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{DB}|\cdot |\overrightarrow{m}|}=\frac{8}{2\sqrt{2}\times 3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

所以二面角 $A-A_1{C}_1-E$ 的正弦值为：

$\sqrt{1-{\cos }^2⟨\overrightarrow{DB},\overrightarrow{m}⟩}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

𝐷1𝐹∥平面𝐴1𝐸𝐶1；直线𝐴𝐶1与平面𝐴1𝐸𝐶1所成角的正弦值为√39；二面角𝐴−𝐴1𝐶1−𝐸的正弦值为13.

✅【答案】

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（I）证明见解析；（II）$\frac{\sqrt{3}}{9}$；（III）$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

𝐷1𝐹∥平面𝐴1𝐸𝐶1；直线𝐴𝐶1与平面𝐴1𝐸𝐶1所成角的正弦值为√39；二面角𝐴−𝐴1𝐶1−𝐸的正弦值为13.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 法向量求解技巧： 解法向量方程组时，通常会得到一个含自由变量的方程，此时只需“赋一个好算的整数值”（比如令 $x=2$）即可，避免出现繁琐的分数计算。

• 角度转换陷阱： 1. 线面角： 直线方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值，等于线面角的正弦值。

  2. 二面角： 两个法向量的夹角，与二面角的平面角可能是相等也可能是互补的关系。本题恰好求的是正弦值，所以不需要判断锐钝（因为 $\sin x=\sin (\pi -x)$），但如果题目要求求余弦值，就必须结合图形去判断二面角到底是锐角还是钝角。

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📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2013-大纲卷理-19 解-线面垂直
• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理