2021-新高考I卷-08 单-相互独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件的定义与判定，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）有 6 个相同的球，分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，从中有放回地随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ）

A. 甲与丙相互独立$B.甲与丁相互独立$

C. 乙与丙相互独立$D.丙与丁相互独立$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间：有放回取球两次，总基本事件数为 $6\times 6=36$ 个。
2. 计算单事件概率：通过列举法找出甲、乙、丙、丁各自包含的基本事件数，计算 $P(\text{甲}),P(\text{乙}),P(\text{丙}),P(\text{丁})$。
3. 计算积事件概率：寻找两两事件的交集（即同时发生的事件），计算 $P(AB)$。
4. 判定独立性：利用相互独立事件的充要条件 $P(AB)=P(A)P(B)$ 逐一比对选项。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总基本事件数 试验为有放回取球两次，总的基本事件数为 $n=6\times 6=36$。

第二步：计算各事件包含的样本点及概率

• 事件甲：第一次取到 1。样本点为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)$，共 6 个。$P(\text{甲})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
• 事件乙：第二次取到 2。样本点为 $(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)$，共 6 个。$P(\text{乙})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
• 事件丙：数字之和为 8。样本点为 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$，共 5 个。$P(\text{丙})=\frac{5}{36}$。
• 事件丁：数字之和为 7。样本点为 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 6 个。$P(\text{丁})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。

第三步：独立性校验

• A 选项（甲与丙）： 甲与丙的交集（第一次为 1 且和为 8）不存在，因为 $1+6=7<8$。故 $P(\text{甲丙})=0$。 $P(\text{甲})P(\text{丙})=\frac{1}{6}\times \frac{5}{36}\ne 0$。不独立。
• B 选项（甲与丁）： 甲与丁的交集（第一次为 1 且和为 7）为 $(1,6)$，共 1 个。故 $P(\text{甲丁})=\frac{1}{36}$。 $P(\text{甲})P(\text{丁})=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$。 满足 $P(\text{甲丁})=P(\text{甲})P(\text{丁})$。相互独立。
• C 选项（乙与丙）： 乙与丙的交集（第二次为 2 且和为 8）为 $(6,2)$，共 1 个。故 $P(\text{乙丙})=\frac{1}{36}$。 $P(\text{乙})P(\text{丙})=\frac{1}{6}\times \frac{5}{36}=\frac{5}{216}$。 显然 $\frac{1}{36}\ne \frac{5}{216}$。不独立。
• D 选项（丙与丁）： 和不可能既是 7 又是 8，积事件概率为 0，而 $P(\text{丙})P(\text{丁})\ne 0$。不独立（实际上是互斥事件）。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心判定准则：相互独立性的唯一判断依据是代数式 $P(AB)=P(A)P(B)$。不要通过主观感觉“两个事件有没有关系”来判断，因为有些独立事件在直觉上并不明显。
2. 特殊数字“7”：在 6 点模型（如掷骰子）中，“和为 7”是一个非常完美的对称状态。由于和为 7 的概率刚好是 $1/6$，它与任何关于单次点数的事件（概率也是 $1/6$）往往在概率乘积上能达成一致。
3. 避坑指南：
   • 基本事件枚举：计算“和为 8”时，$(4,4)$ 只能算一次；计算概率时，分母必须保持为总空间 $36$。
   • 独立与互斥的区别：独立是指发生的概率互不影响；互斥是指不能同时发生。若 $P(A),P(B)>0$，则互斥事件一定不独立。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于涉及“和”的概率问题，如果不方便列举，可以尝试使用二维表格法。将两次取值的 1-6 分别列在行和列，格子里填入和，能直观看出各事件的分布。
• 变式思考：如果将题目改为“无放回地取两次”，总基本事件变为 $6\times 5=30$。此时甲与丁是否还独立？ (提示：无放回时，第一次的结果会直接限制第二次的取值范围，通常单次取值与和的独立性会遭到破坏，需重新计算校验。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-21 解-分层抽样与概率
• 2000-上海卷理-10 填-古典概型
• 2000-新课标理-17 解-古典概型