2013-陕西卷文-21 解-分层抽样与概率

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于按比例抽样、概率乘法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 有 $7$ 位歌手（$1$ 至 $7$ 号）参加一场歌唱比赛，由 $500$ 名大众评委现场投票决定歌手名次. 根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50

(1)为了调查评委对 $7$ 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组抽取了 $6$ 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6

(2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 $2$ 人支持 $1$ 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 $1$ 人，求这 $2$ 人都支持 $1$ 号歌手的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1)$ 抽样比 $=\frac{6}{100}$：A、C、D、E 抽 $3$，$9$，$9$，$3$。
2. $(2)$ A 组 $3$ 人中 $2$ 人支持 → $\frac{2}{3}$；B 组 $6$ 人中 $2$ 人支持 → $\frac{2}{6}$。
3. $P=\frac{2}{3}\times \frac{2}{6}=\frac{2}{9}$。

✅【答案】

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(1)依次为 $3$，$6$，$9$，$9$，$3$；(2)$\frac{2}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 分层抽样时各组被抽到的比例相同。B 组 $100$ 人中抽取 $6$ 人，抽样比为 $\frac{6}{100}=\frac{3}{50}.$ 故各组抽取人数为： A 组 $50\times \frac{3}{50}=3$；C 组 $150\times \frac{3}{50}=9$；D 组 $150\times \frac{3}{50}=9$；E 组 $50\times \frac{3}{50}=3$。 即从 A、B、C、D、E 组分别抽取 $3$，$6$，$9$，$9$，$3$ 人。 （2） 由（1）知 A 组抽到 $3$ 人，其中 $2$ 人支持 $1$ 号歌手，故从 A 组抽取 $1$ 人、该人支持 $1$ 号歌手的概率为 $P_1=\frac{2}{3}.$ B 组抽到 $6$ 人，其中 $2$ 人支持 $1$ 号歌手，故从 B 组抽取 $1$ 人、该人支持 $1$ 号歌手的概率为 $P_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$ 两次抽取相互独立，所以这 $2$ 人都支持 $1$ 号歌手的概率 $P=P_1{P}_2=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：$(1)$ B 组抽取比 $\frac{6}{100}$，故 A、C、D、E 组分别抽 $50\times \frac{6}{100}=3$、$150\times \frac{6}{100}=9$、$150\times \frac{6}{100}=9$、$50\times \frac{6}{100}=3$；$(2)$ A 组 3 人中 2 人支持、B 组 6 人中 2 人支持 → $P=\frac{2}{3}\times \frac{2}{6}=\frac{2}{9}$

避坑指南：$(1)$ 分层抽样按同一比例 $\frac{\text{抽取人数}}{\text{总人数}}$ 分配到各组（这里 $\frac{6}{100}$）；$(2)$ 分别任选一人是相互独立的两步，概率相乘；先数清每组抽到的人数和其中”支持 1 号”的人数，别把 C、D 组（各 9 人）误算进去——题目只涉及 A、B 两组。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样与古典概型（相互独立事件）。

结论推广：分层抽样（按比例抽样）；相互独立事件的乘法公式。

方法推广：定抽样比 → 分配各组人数 → 两个独立事件概率相乘。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-16 解-空气质量概率
• 2013-安徽卷文-17 解-茎叶图与平均数
• 2014-山东卷文-16 解-分层抽样与概率