2021-新高考I卷-13 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及奇偶函数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知函数 $f(x)=x^3(a\cdot 2^x-2^{-x})$ 是偶函数，则 $a=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构拆解：观察函数解析式，可以将 $f(x)$ 看作两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的乘积。

• 令 $g(x)=x^3$；
• 令 $h(x)=a\cdot 2^x-2^{-x}$。

2. 利用性质判定：

• 易知 $g(x)=x^3$ 是典型的奇函数。
• 根据奇偶性的乘法法则：奇函数 × 奇函数 = 偶函数。
• 题目已知 $f(x)$ 是偶函数，因此必须要求 $h(x)=a\cdot 2^x-2^{-x}$ 是奇函数。

3. 求解参数 $a$：

• 特殊值法：若奇函数 $h(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则必有 $h(0)=0$。
• 定义法：利用 $h(-x)=-h(x)$ 建立恒等式求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数组成部分的性质 设 $g(x)=x^3$。因为 $g(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-g(x)$，所以 $g(x)$ 是奇函数。 已知 $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ 是偶函数，根据奇偶性运算法则， 可知 $h(x)=a\cdot 2^x-2^{-x}$ 必须为奇函数。

第二步：利用奇函数性质求解 $a$ 解法一：特殊值法（快速破题） 由于 $h(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，则恒有 $h(0)=0$。 代入 $x=0$ 得： $a\cdot 2^0-2^{-0}=0$ $a\cdot 1-1=0$ 解得 $a=1$。

解法二：定义法（严格证明） 因为 $h(x)$ 是奇函数，所以对任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $h(-x)=-h(x)$： $a\cdot 2^{-x}-2^x=-(a\cdot 2^x-2^{-x})$ $a\cdot 2^{-x}-2^x=-a\cdot 2^x+2^{-x}$ 整理得： $(a-1)2^x+(a-1)2^{-x}=0$ $(a-1)(2^x+2^{-x})=0$ 由于 $2^x+2^{-x}>0$ 恒成立，所以必有 $a-1=0$。 解得 $a=1$。

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧——奇偶性乘法法则：

• 奇 × 奇 = 偶
• 偶 × 偶 = 偶
• 奇 × 偶 = 奇 熟记此规则可以避免复杂的整体运算，将问题降维。

2. 奇函数的必要条件：对于定义域包含 $0$ 的奇函数，$f(0)=0$ 是一个非常强大的提速工具。
3. 避坑指南：使用 $f(0)=0$ 后，理论上应代回原式检查是否满足“对任意 $x$ 成立”。但在高考填空题中，若解析式形式标准（如本题指数项系数对称），通常直接求解即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目改为 $f(x)=x^2(a\cdot 2^x-2^{-x})$ 是奇函数，结果会变吗？ (提示：此时 $g(x)=x^2$ 是偶函数，根据“偶 × 奇 = 奇”，$h(x)$ 依然需要是奇函数，故结果仍为 $a=1$。)
• 模型总结：形如 $\phi (x)=a\cdot b^x-c\cdot b^{-x}$ 的函数：

• 若为奇函数，则 $a=c$；
• 若为偶函数，则 $a=-c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考理-08
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2011-湖北卷理-06