2021-新高考I卷-15 填-导数最值

本题导读

本题考查导数在函数最值中的应用，以及绝对值的几何意义与分段讨论。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）函数 $f(x)=|2x-1|-2\ln x$ 的最小值为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 确定定义域：由于包含 $\ln x$，函数 $f(x)$ 的定义域必须满足 $x>0$。
2. 分段去绝对值：绝对值内部 $2x-1$ 的零点为 $x=\frac{1}{2}$。以此为界分区间讨论：

• 当 $0<x⩽\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=1-2x-2\ln x$；
• 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=2x-1-2\ln x$。

3. 利用导数分析单调性：

• 在各区间内分别求导 $f^{\prime }(x)$，判定其正负，找寻单调区间和极值点。

4. 比对候选值：计算各段的极小值或端点值，通过比较（如 $\ln 4$ 与 $1$ 的大小关系）确定全局最小值。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：明确定义域并分段 由 $\ln x$ 可知，定义域为 $(0,+\infty )$。 令 $2x-1=0$，解得分界点 $x=\frac{1}{2}$。

第二步：分析区间 $(0,\frac{1}{2}]$ 上的性质 在此区间内，$2x-1⩽0$，故 $f(x)=1-2x-2\ln x$。 求导：$f^{\prime }(x)=-2-\frac{2}{x}=-2(1+\frac{1}{x})$。 因为 $x>0$，所以 $1+\frac{1}{x}>0$，从而 $f^{\prime }(x)<0$ 恒成立。 函数 $f(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2}]$ 上单调递减。 该段的最小值为端点值：$f(\frac{1}{2})=1-2(\frac{1}{2})-2\ln \frac{1}{2}=0-2(-\ln 2)=2\ln 2=\ln 4$。

第三步：分析区间 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上的性质 在此区间内，$2x-1>0$，故 $f(x)=2x-1-2\ln x$。 求导：$f^{\prime }(x)=2-\frac{2}{x}=\frac{2(x-1)}{x}$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得极值点 $x=1$。

• 当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也是该段的最小值： $f(1)=2(1)-1-2\ln 1=1-0=1$。

第四步：全局最值比对 比较两个区间的候选最小值：$\ln 4$ 与 $1$。 因为 $1=\ln \text{e}$，且 $\text{e}\approx 2.718$，而 $4>2.718$， 所以 $\ln 4>\ln \text{e}$，即 $2\ln 2>1$。 综合两个区间，函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值为 $1$。

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分类讨论思想：处理含绝对值符号的函数，“零点分段法”是万能钥匙。它能将非初等函数形式转化为熟悉的初等函数段。
2. 导数的工具性：导数是判定单调性和寻找极值点的最强工具，尤其是当函数解析式涉及指数、对数等超越函数时。
3. 数值比较技巧：在比较对数值与整数时，通常将整数转化为同底的对数形式（如 $1=\ln \text{e}$），利用对数函数的单调性进行判定。
4. 避坑指南：

• 务必检查极值点（如 $x=1$）是否落在当前讨论的区间（如 $x>1/2$）内。
• 不要遗漏对数函数自身的定义域限制（$x>0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以通过图像法辅助理解。$|2x-1|$ 是一个“V”字形折线图，$-2\ln x$ 是一个单调递减的曲线，二者叠加后的形态可以通过导数精确刻画。
• 变式思考：如果将函数改为 $f(x)=|2x-1|+2\ln x$，最小值的求法是否一致？ (提示：此时 $x>1/2$ 段变为 $2x-1+2\ln x$，由于 $2+2/x>0$ 恒成立，函数将呈现不同的单调性，需重新讨论。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 1987-全国卷理-18 解-含参对数不等式恒成立
• 2007-上海卷理-01 填-对数函数性质