2021-新高考I卷-17 解-数列综合

本题导读

本题考查递推数列。核心在于分类讨论法、分组求和法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+1,& n\text{ 为奇数}\\ a_n+2,& n\text{ 为偶数}\end{array}$。

（1）记 $b_n=a_{2n}$，写出 $b_1,b_2$，并求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

（2）求 $\{a_n\}$ 的前 20 项和。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：通过递推公式直接计算前几项得到 $b_1,b_2$；利用 $a_{2n}$ 与 $a_{2n-2}$ 的跨步关系证明 $\{b_n\}$ 是等差数列。
2. 第二问：由于数列项的增加规律随项数奇偶性变化，采用分组求和法，将前 20 项分为 10 个奇数项和 10 个偶数项分别求和。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $b_1=2$，$b_2=5$，$\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=3n-1$

(2) $\{a_n\}$ 的前 $20$ 项和 $S_{20}=300$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求解 $b_n$ 的通项公式 步骤 1：计算基础项 由 $a_1=1$ 及递推式得：

• $n=1$（奇）：$a_2=a_1+1=2$，即 $b_1=2$。
• $n=2$（偶）：$a_3=a_2+2=4$。
• $n=3$（奇）：$a_4=a_3+1=5$，即 $b_2=5$。

步骤 2：推导通项 当 $n\ge 2$ 时，$b_n-b_{n-1}=a_{2n}-a_{2n-2}=(a_{2n-1}+1)-a_{2n-2}=(a_{2n-2}+2+1)-a_{2n-2}=3$。 所以 $\{b_n\}$ 是首项为 2，公差为 3 的等差数列。 通项公式为：$b_n=2+(n-1)\times 3=3n-1$。

（2）求 $\{a_n\}$ 的前 20 项和 $S_{20}$ 步骤 1：分析奇数项 由（1）知 $a_{2n}=3n-1$。 则奇数项 $a_{2n-1}=a_{2n}-1=3n-2$。 步骤 2：分组求和 $S_{20}=(a_1+a_3+\cdots +a_{19})+(a_2+a_4+\cdots +a_{20})$ $S_{20}={\sum }_{n=1}^{10}(3n-2)+{\sum }_{n=1}^{10}(3n-1)$ $S_{20}=\frac{10\times (1+28)}{2}+\frac{10\times (2+29)}{2}=145+155=300$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 合成步长：对于 $a_{n+1}=a_n+f(n)$ 型且 $f(n)$ 呈周期性或奇偶性变化的数列，考察 $a_{n+2}-a_n$ 通常能得到等差子数列。
2. 分组求和：项数较多且规律交替时，拆分为两个子数列是标准动作。

📖【试题探源与推广】

Tip

若要求前 $n$ 项和 $S_n$ 的通项，需分 $n$ 为奇数和偶数进行讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-20
• 2008-上海卷理-21
• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和