2021-新高考I卷-21 解-双曲线综合

本题导读

本题考查双曲线的定义与标准方程。核心在于轨迹分析法、直线参数方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1(-\sqrt{17},0)$，$F_2(\sqrt{17},0)$，点 $M$ 满足 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2$。记 $M$ 的轨迹为 $C$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且 $|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|$，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹方程）：

• 根据双曲线的第一定义：平面内与两定点距离之差的绝对值为常数的轨迹。本题中没有绝对值，且 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2>0$，说明 $M$ 靠近 $F_2$，轨迹仅为双曲线的右支。
• 利用 $2a=2$ 和 $c=\sqrt{17}$ 求出 $b^2=c^2-a^2$。

2. 第二问（斜率之和）：

• 点 $T$ 的设定：设 $T(\frac{1}{2},m)$。
• 核心工具——参数方程：处理过定点的弦长积 $|TA|\cdot |TB|$，使用直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \theta \\ y=y_0+t\sin \theta \end{array}$ 最为简洁，因为参数 $|t_1{t}_2|$ 直接等价于距离积。
• 建立等式：将参数方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出 $|t_1{t}_2|$。由已知条件 $|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|$ 建立关于两个直线倾斜角（或斜率）的等式。
• 逻辑推理：通过代数化简得出斜率平方相等，结合两条直线不重合的条件，判定斜率互为相反数。

✅【答案】

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${\cos }^2\theta ={\cos }^2\beta$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求轨迹 $C$ 的方程：

1. 识别曲线类型：

   已知 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2$．根据双曲线定义，由于 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{17}>2$，且差值为正，点 $M$ 的轨迹是以 $F_1,F_2$ 为焦点的双曲线的右支．

2. 确定参数：

   • $2a=2⟹a=1$；

   • 半焦距 $c=\sqrt{17}$；

   • 根据 $b^2=c^2-a^2$，得 $b^2=17-1=16$．

3. 写出方程：

   轨迹 $C$ 的方程为：$x^2-\frac{y^2}{16}=1$（其中 $x⩾1$）．

（2）求直线 $AB$ 与 $PQ$ 的斜率之和：

4. 设点坐标与参数方程：

   设点 $T(\frac{1}{2},m)$．

   设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，其参数方程为：

   $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+t\cos \theta \\ y=m+t\sin \theta \end{array}$ ($t$ 为参数)．

5. 联立方程推导距离积：

   将参数方程代入 $16x^2-y^2=16$：

   $16(\frac{1}{2}+t\cos \theta {)}^2-(m+t\sin \theta {)}^2=16$

   整理得：

   $(16{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )t^2+(16\cos \theta -2m\sin \theta )t-(m^2+12)=0$

   根据参数的几何意义，$|TA|\cdot |TB|=|t_1{t}_2|$．

   由于 $A,B$ 在右支上，且 $T$ 在直线 $x=1/2$ 上（位于双曲线左侧），故 $t_1,t_2$ 同号：

   $|TA|\cdot |TB|=\left|\frac{m^2+12}{16{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }\right|=\left|\frac{m^2+12}{17{\cos }^2\theta -1}\right|$

6. 利用等量关系推导斜率关系：

   同理，设直线 $PQ$ 的倾斜角为 $\beta$，则 $|TP|\cdot |TQ|=\left|\frac{m^2+12}{17{\cos }^2\beta -1}\right|$．

   已知 $|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|$，得：

   $|17{\cos }^2\theta -1|=|17{\cos }^2\beta -1|$

   由题意直线 $AB$ 与 $PQ$ 不重合，故 ${\cos }^2\theta ={\cos }^2\beta$．

   因此 ${\tan }^2\theta ={\tan }^2\beta$，即 $k_{AB}^2=k_{PQ}^2$．

7. 判定斜率之和：

   由于 $AB$ 与 $PQ$ 为两条不同的直线，则 $k_{AB}\ne k_{PQ}$，故必有 $k_{AB}=-k_{PQ}$．

   所以 $k_{AB}+k_{PQ}=0$．

（法二）设$T(\frac{1}{2},t)$，直线$AB$的方程为$y=k_1(x-\frac{1}{2})+t$，

$A(x_1$，$y_1)$，$B(x_2$，$y_2)$，设$\frac{1}{2}<x_1<x_2$，

将直线$AB$方程代入$C$的方程化简并整理可得，$(16-{k_1}^2)x^2+({k_1}^2-2t{k}_1)x-\frac{1}{4}{k_1}^2+k_{1}t-t^2-16=0$，

由韦达定理有，$x_1+x_2=-\frac{{k_1}^2-2k_{1}t}{{k_1}^2-16},x_1{x}_2=\frac{-\frac{1}{4}{k_1}^2+k_{1}t-t^2-16}{{{16-k}_1}^2}$，

又由$A(x_1,k_1{x}_1-\frac{1}{2}{k}_1+t),T(\frac{1}{2},t)$可得$|AT|=\sqrt{1+{k_1}^2}(x_1-\frac{1}{2})$，

同理可得$|BT|=\sqrt{1+{k_1}^2}(x_2-\frac{1}{2})$，

\therefore$$\vert AT\vert \vert BT\vert =(1+{{k}_{1}}^{2})({x}_{1}-\frac{1}{2})({x}_{2}-\frac{1}{2})=\frac{(1+{{k}_{1}}^{2})({t}^{2}+12)}{{{k}_{1}}^{2}-16}，

设直线$PQ$的方程为$y=k_2(x-\frac{1}{2})+t,P(x_3,y_3),Q(x_4,y_4)$，

设$\frac{1}{2}<x_3<x_4$，

同理可得$|PT||QT|=\frac{(1+{k_2}^2)(t^2+12)}{{k_2}^2-16}$，

又$|AT||BT|=|PT||QT|$，

则$\frac{1+{k_1}^2}{{k_1}^2-16}=\frac{1+{k_2}^2}{{k_2}^2-16}$，化简可得${k_1}^2={k_2}^2$，

又$k_1\ne k_2$，则$k_1=-k_2$，即$k_1+k_2=0$，即直线$AB$的斜率与直线

$PQ$的斜率之和为0．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的威力：在处理“过定点的弦长积”问题时，直线的参数方程具有天然优势。它避开了繁琐的欧氏距离公式和根号运算，直接通过常数项与二次项系数之比（韦达定理）解决。
2. 几何不变量的提取：本题中 $|TA|\cdot |TB|$ 的分子 $m^2+12$ 仅取决于定点 $T$ 和曲线常数，而分母则完全由直线的方向（斜率）决定。这种“分子无关性”是证明斜率对称性的前提。
3. 避坑指南：

• 定义陷阱：第一问中 $|M{F}_1|-|M{F}_2|=2$ 必须明确轨迹是“右支”，漏掉 $x⩾1$ 会导致扣分。
• 判别式与存在性：虽然是证明题，但在联立方程时，理论上需保证 $\Delta >0$ 以及直线与右支相交的条件。在填空或简答中，通常默认存在性，但在严谨证明中需留意直线斜率的取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：对于一般的圆锥曲线 $\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$，若点 $T$ 在某条平行于轴的直线上，且满足类似的弦长积相等条件，其斜率之和（或之积）往往呈现某种定值特性。
• 变式思考：如果将条件改为 $\frac{1}{|TA|\cdot |TB|}+\frac{1}{|TP|\cdot |TQ|}$ 为定值，点 $T$ 的轨迹会是什么？ (提示：这涉及到阿波罗尼奥斯圆或类似的等幂曲线性质，可利用参数方程的分母项进行反向构造。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2006-北京卷理-19 解-均值不等式与一元二次方程根与系数的关系