2021-新高考II卷-11 多-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系判定，以及点与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）已知直线 $l:ax+by-r^2=0$ 与圆 $C:x^2+y^2=r^2$，点 $A(a,b)$，则下列说法正确的是（ ）

A. 若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

B. 若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离

C. 若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离

D. 若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立判定模型：直线与圆的关系由圆心 $(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小决定。
2. 推导距离公式：利用公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，求得 $d=\frac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
3. 逻辑匹配：将点 $A$ 的位置（在圆上、内、外）转化为 $\sqrt{a^2+b^2}$ 与 $r$ 的关系，进而判定 $d$ 与 $r$ 的关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定距离表达式 圆心为 $C(0,0)$，半径为 $r$。圆心到直线 $ax+by-r^2=0$ 的距离为： $d=\frac{|a\cdot 0+b\cdot 0-r^2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

第二步：逐项判定

• A项：点 $A$ 在圆上 $⟹a^2+b^2=r^2⟹d=\frac{r^2}{r}=r$，相切。正确。
• B项：点 $A$ 在圆内 $⟹a^2+b^2<r^2⟹\sqrt{a^2+b^2}<r⟹d=\frac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}>r$，相离。正确。
• C项：点 $A$ 在圆外 $⟹a^2+b^2>r^2⟹d=\frac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}<r$，相交。错误。
• D项：点 $A$ 在直线 $l$ 上 $⟹a^2+b^2-r^2=0⟹a^2+b^2=r^2$，等价于点 $A$ 在圆上，此时 $d=r$，相切。正确。

故选：ABD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心逻辑：直线与圆的关系判定永远围绕“$d$ 与 $r$ 的比对”展开。
2. 极线背景：本题中的直线 $l$ 实际上是点 $A$ 关于圆的极线。点在圆外，极线与圆相交；点在圆内，极线与圆相离。

📖【试题探源与推广】

Tip

若圆心不在原点而在 $(x_0,y_0)$，直线方程的对应形式为 $(a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=r^2$，判定逻辑完全一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷理-03
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系