2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系

本题导读

本题考查点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 已知点 $M(a,b)$ 在圆 $O:x^2+y^2=1$ 外，则直线 $ax+by=1$ 与圆 $O$ 的位置关系是()

A. 相切　　　　　B. 相交　　　　　C. 相离　　　　　D. 不确定

🔍【思路分析】

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1. 点在圆外 $\Rightarrow a^2+b^2>1$。
2. 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $ax+by-1=0$ 的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
3. $\sqrt{a^2+b^2}>1\Rightarrow d<1=r$ → 相交。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

点 $M(a,b)$ 在圆 $O:x^2+y^2=1$ 外，故 $a^2+b^2>1.$ 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $ax+by=1$（即 $ax+by-1=0$）的距离为 $d=\frac{|a\cdot 0+b\cdot 0-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ 由 $a^2+b^2>1$ 得 $\sqrt{a^2+b^2}>1$，故 $d=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}<1=r,$ 即圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系判定

核心方法：$M(a,b)$ 在圆外 $\Rightarrow a^2+b^2>1$；圆心到直线 $ax+by=1$ 的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}<1=r$ → 相交

避坑指南：判定用距离与半径比较：$d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，分母由”点在圆外”给出 $>1$，于是 $d<1$——不必解出 $a,b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点与圆、直线与圆的位置关系。

结论推广：点到直线的距离公式；$d$ 与 $r$ 比较。

方法推广：点在圆外 → $a^2+b^2>1$ → 求 $d$ → 与 $r=1$ 比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-11 单-直线与圆
• 2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角
• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆