2021-新高考II卷-12 多-二进制数列

本题导读

本题考查二进制表示，以及汉明重量定义与性质。

📌【题干】

Question

（2021年新高考II卷）设正整数 $n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots +a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中 $a_i\in \{0,1\}$，记 $\omega (n)=a_0+a_1+\cdots +a_k$。则（ ）

A. $\omega (2n)=\omega (n)$　　　　　　　　　　　　　B. $\omega (2n+3)=\omega (n)+1$

C. $\omega (8n+5)=\omega (4n+3)$　　　　　　　　D. $\omega (2^n-1)=n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型转化：题目中 $n$ 的表达式即为 $n$ 的二进制展开。$\omega (n)$ 代表 $n$ 的二进制表示中“1”的个数。

2. 位移性质（A、C项）：在二进制中，乘以 $2^m$ 相当于将原数字左移 $m$ 位，末尾补 $0$。这一操作不改变“1”的个数。

3. 进位逻辑（B项）：二进制加法中，若相加位均为 $1$，则会产生进位（$1+1=10_2$），这会导致“1”的个数发生非线性变化。

4. 特殊序列（D项）：利用等比数列求和公式 $2^n-1={\sum }_{i=0}^{n-1}{2}^i$，识别其二进制形态。

✅【答案】

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正确选项为 ACD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 A 选项（倍数位移） 由于 $n=\sum a_i\cdot 2^i$，则 $2n=\sum a_i\cdot 2^{i+1}$。 在二进制视角下，$2n$ 只是将 $n$ 的所有数位向左移动了一位，末位补 $0$。 例如：$n=3(11_2)\to 2n=6(110_2)$。 系数 $a_i$ 的总数及其数值均未改变，故 $\omega (2n)=\omega (n)$。故 A 正确。

第二步：判定 B 选项（反例排除） 取 $n=1$。 $\omega (1)=1$（二进制 $1_2$）。 $2n+3=2(1)+3=5$。 $5$ 的二进制为 $101_2$，故 $\omega (5)=1+0+1=2$。 此时 $\omega (2n+3)=2$，而 $\omega (n)+1=1+1=2$，似乎成立。 再取 $n=2$。 $\omega (2)=1$（二进制 $10_2$）。 $2n+3=2(2)+3=7$。 $7$ 的二进制为 $111_2$，故 $\omega (7)=3$。 此时 $\omega (2n+3)=3$，而 $\omega (n)+1=2$。 $3\ne 2$。故 B 错误。

第三步：判定 C 选项（末位填充）

• 对于 $8n+5$： $8n=n\cdot 2^3$，其二进制末三位必为 $000$。 数字 $5$ 的二进制为 $101_2$。 故 $8n+5$ 的二进制表示即为 $n$ 的二进制后面直接拼接 $101$。 $\omega (8n+5)=\omega (n)+\omega (5)=\omega (n)+2$。

• 对于 $4n+3$： $4n=n\cdot 2^2$，其二进制末两位必为 $00$。 数字 $3$ 的二进制为 $11_2$。 故 $4n+3$ 的二进制表示即为 $n$ 的二进制后面直接拼接 $11$。 $\omega (4n+3)=\omega (n)+\omega (3)=\omega (n)+2$。 两式相等。故 C 正确。

第四步：判定 D 选项（等比数列结论） 根据等比数列求和公式： $2^n-1=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots +2^1+2^0$ 这表示 $2^n-1$ 的二进制展开式中，从第 $0$ 位到第 $n-1$ 位的系数 $a_i$ 全部为 $1$。 共有 $n$ 个 $1$。 故 $\omega (2^n-1)=n$。故 D 正确。

综上所述，正确选项为 ACD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心逻辑：汉明重量：$\omega (n)$ 在计算机科学中被称为汉明重量（Hamming weight）。理解其本质是“二进制中 $1$ 的个数”是解决此类题目的“化繁为简”武器。
2. 进制运算的几何化理解：

• 乘以 $2^k$ = 左移 $k$ 位。
• 加上一个小于 $2^k$ 的数 = 在末尾 $k$ 位进行“填充”，若不涉及进位，则 $\omega$ 直接相加。

3. 避坑指南：B 选项的迷惑性在于它对某些特殊值成立，但在二进制加法中，低位的 $1$ 极易引起“进位连锁反应”，导致 $1$ 的个数减少（如 $111_2+1_2=1000_2$，$\omega$ 从 $3$ 变回 $1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 能力提升：如果题目要求 $\omega (n+m)$ 的范围，可以利用性质 $\omega (n+m)⩽\omega (n)+\omega (m)$。这是因为每次进位都会将两个 $1$ 变成一个 $1$（并向高位移动），从而减少 $1$ 的总数。
• 变式思考：如果将底数 $2$ 改为 $10$，$\omega (n)$ 变为十进制各数位之和，A 选项是否依然成立？ (提示：此时 $2n$ 可能会产生进位，例如 $\omega (6)=6$，但 $\omega (12)=3$，故不成立。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质
• 1989-全国卷理-23 解-数列求和与待定系数
• 2000-广东卷理-18 解-等比数列的基本量计算