2007-广东卷理-08 单-抽象代数基本性质

本题导读

本题是一道极具抽象代数背景的集合新定义创新压轴选择题。题目定义了一个二元运算“$\ast$”，并给出了唯一的核心铁律 $a\ast (b\ast a)=b$。要求在四个抽象表达式中找出不恒成立的一项。解题关键在于运用“符号整体代换”思想，通过将已知铁律中的部分元素替换为复合运算式来进行逻辑推演。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 设 $S$ 是至少含有两个元素的集合. 在 $S$ 上定义了一个二元运算“$\ast$”(即对任意的 $a,b\in S$, 对于有序元素对 $(a,b)$, 在 $S$ 中有唯一确定的元素 $a\ast b$ 与之对应). 若对任意的 $a,b\in S$, 有 $a\ast (b\ast a)=b$, 则对任意的 $a,b\in S$, 下列等式中不恒成立的是()

A. $(a\ast b)\ast a=a$　　　　　　B. $[a\ast (b\ast a)]\ast (a\ast b)=a$

C. $b\ast (b\ast b)=b$　　　　　　D. $(a\ast b)\ast [b\ast (a\ast b)]=b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立核心武器（唯一已知铁律）：

• 原始结构： $\text{前}\ast (\text{后}\ast \text{前})=\text{后}$ 恒成立。

2. 分析 A 选项：

• 我们如何在核心已知式中凑出形如 $(a\ast b)\ast a$ 的样子？

• 尝试在已知式 $a\ast (b\ast a)=b$ 中进行自变量字母的镜像对调：将所有的 $a$ 换成 $b$， 所有的 $b$ 换成 $a$。

• 得到新恒等式： $b\ast (a\ast b)=a$。

• 此时再将这个新式子整体作为一个分量。慢着，由 $b\ast (a\ast b)=a$ 怎么推 A？

• 我们把已知式 $a\ast (b\ast a)=b$ 中的 $b$ 整体用 $(a\ast b)$ 来进行符号整体替换。

• 则已知式变为： $a\ast [(a\ast b)\ast a]=a\ast b$。

• 观察两端：左边是 $a\ast [\text{某物}]$， 右边是 $a\ast b$。如果运算具有左消去律，可以得出该物等于 $b$， 但本题没有定义消去律，所以无法直接得出 $(a\ast b)\ast a=b$。慢着，A项写的是 $(a\ast b)\ast a=a$， 并不是 $b$。

• 重新梳理：由对调式已知 $b\ast (a\ast b)=a$。

• 在这个对调式中，把开头的字母 $b$ 整体替换为 $(b\ast a)$：

• 则左边变为 $(b\ast a)\ast [a\ast (b\ast a)]$。

• 依据原始铁律，括号内部的 $a\ast (b\ast a)$ 严格等于 $b$。

• 故左边化简为： $(b\ast a)\ast b$。

• 右边的 $a$ 保持不变。

• 联立得出： $(b\ast a)\ast b=a$。

• 此时，在这个推导出的结论 $(b\ast a)\ast b=a$ 中，再次将字母 $a$ 与 $b$ 进行对调：

• 得到： $(a\ast b)\ast a=b$。

• 比较 A 选项：A 选项写的是 $(a\ast b)\ast a=a$。根据推导，它实际应当等于 $b$。由于集合 $S$ 至少含有两个元素， $a$ 与 $b$ 可以不相等，故 A 选项不恒成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：本题唯一的破局武器是对任意元素均恒成立的原始定义铁律： $a\ast (b\ast a)=b\text{（基础铁律一）}$

因为该等式对集合内任意有序对都成立，我们将基础铁律一中的字母 $a$ 与 $b$ 进行位置对调，可得： $b\ast (a\ast b)=a\text{（基础铁律二）}$

下面运用符号整体代换法，对各个选项的恒成立性质进行严格推导比对：

• 第一步：推导 A 选项的真实值 在基础铁律二 $b\ast (a\ast b)=a$ 中，我们将最左侧的单一独立元素 $b$ 整体替换为复合元素表达式 $(b\ast a)$： $\text{左边}=(b\ast a)\ast [a\ast (b\ast a)]$ 根据基础铁律一，中括号内部的分量 $a\ast (b\ast a)$ 严格恒等于 $b$， 故上式直接化简为： $\text{左边}=(b\ast a)\ast b$ 而右侧的 $a$ 在替换过程中保持不变， 故建立恒等式： $(b\ast a)\ast b=a$ 在此新恒等式中，将字母 $a$ 与 $b$ 再次进行镜像对调，可得： $(a\ast b)\ast a=b$ 也就是说，表达式 $(a\ast b)\ast a$ 的真实化简值恒等于 $b$。 因为集合 $S$ 至少含有两个不同的元素，当取 $a\ne b$ 时， $(a\ast b)\ast a=b\ne a$， 故 A 选项中的等式 $(a\ast b)\ast a=a$ 不恒成立。

• 第二步：验证 B、C、D 选项的恒成立性（确保严密性）

• 对于 B 选项：根据基础铁律一，左边大括号内部的 $a\ast (b\ast a)=b$， 代入原式左端变为 $b\ast (a\ast b)$。再根据基础铁律二， $b\ast (a\ast b)=a$， 故左端严格等于右端 $a$， B 选项恒成立；
• 对于 C 选项：在基础铁律一 $a\ast (b\ast a)=b$ 中，直接令 $a=b$， 此时等式自然退化为 $b\ast (b\ast b)=b$， C 选项恒成立；
• 对于 D 选项：由前面第一步已证的通用结论：对任意元素，均有 $(\text{框}\ast \text{三角})\ast \text{框}=\text{三角}$。 我们将 $\text{框}=a\ast b,\text{三角}=b$ 代入该结论的左边： $\left[(a\ast b)\ast b\right]\ast (a\ast b)$ 由前面推导知 $(b\ast a)\ast b=a⟹(a\ast b)\ast b=a$ 并不对，慢着，前面推导出的结论是 $(b\ast a)\ast b=a$， 字母对调后是 $(a\ast b)\ast a=b$。 我们直接看 D 选项的左边： $(a\ast b)\ast [b\ast (a\ast b)]$。 根据基础铁律二，中括号内部的 $b\ast (a\ast b)$ 严格等于 $A$。 代入后，D选项左边直接化简为： $M=(a\ast b)\ast a$。 再根据我们第一步推导出的刚性结论 $(a\ast b)\ast a=b$， 故该式直接等于 $b$。左端完全等于右端， D 选项恒成立。

综上所述，不恒成立的等式是 A。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象二元代数系统的恒等变形、整体符号代换技术（ Element Replacement ）。
2. 核心方法：镜像对调法、整体代入化简法。
3. 避坑指南：

• 属于全卷难度极高、极抽象的压轴选择题。

• 破局的死穴在于“不要把 $a,b$ 看死为固定字母，而是看作两个等待填充的符号框”。

• 原始公式本质是： $\square \ast (△\ast \square )=△$。

• 通过在 $\square$ 和 $△$ 框中分别塞入 $b$ 和 $(b\ast a)$， 就能像搭积木一样层层解开抽象符号的迷雾。考场上多在草稿纸上进行整体替换演练是通关关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题高观点背景出自高等代数（近世代数/群论）中关于“拟群（Quasigroup）”与非结合代数系统的基础运算性质。

2. 结论推广: 满足 $a\ast (b\ast a)=b$ 的二元运算系统在近世代数中被称为具有“逆袭对偶性”的系统， 它保证了系统内部虽然不满足交换律和结合律， 但通过两次特定的复合运算可以实现信息的无损还原。

🔗【关联脉络】

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