2021-浙江卷-10 单-数列不等式

本题导读

本题考查数列递推公式，以及数列不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）10. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$。记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则（ ）

A. $\frac{3}{2}<S_{100}<3$　　　　　　　　　　　　　　B. $3<S_{100}<4$

C. $4<S_{100}<\frac{9}{2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{9}{2}<S_{100}<5$

🔍【思路分析】

破题导航

本题的核心目标是求 $S_{100}$ 的上下界。 1. 找下界（极简）： 因为 $a_1=1$，显然各项都大于 $0$。算出 $a_2=\frac{1}{2}$ 后，立刻可知 $S_{100}>a_1+a_2=1.5$，直接锁定下界。 2. 找上界（连环放缩，核心难点）： - 第一步（取倒数求下界）： 递推式呈分式形态，首选**“倒数法”。变形后配方，放缩去掉常数，利用累加法**求出 $\frac{1}{\sqrt{a_n}}$ 的上界，从而得到 $a_n$ 的下界。

• 第二步（代回递推式找比例）： 将 $a_n$ 的下界代回原递推式的分母中，进行局部放缩，得到相邻两项的比例关系 $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{n+1}{n+3}$。
• 第三步（累乘找通项上界）： 利用上述比例，通过累乘法求出 $a_n$ 的上界表达式，化简后发现它可以裂项。
• 第四步（裂项求和）： 利用裂项相消法对上界进行求和，最终证明 $S_{100}<3$。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：简单推导找下界 因为 $a_1=1$，且 $a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}$，显然数列各项 $a_n>0$。 $a_2=\frac{1}{1+\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$。 所以 $S_{100}>a_1+a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。（这已经排除了部分错误选项的下界）。

第二步：取倒数，配方放缩 对递推式两边取倒数： $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+\sqrt{a_n}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{\sqrt{a_n}}$ 对其进行配方： $\frac{1}{a_{n+1}}={\left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ 因为 $-\frac{1}{4}<0$，所以直接放缩掉（放大）： $\frac{1}{a_{n+1}}<{\left(\frac{1}{\sqrt{a_n}}+\frac{1}{2}\right)}^2$ 两边同时开平方（因为各项均为正）： $\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{a_n}}+\frac{1}{2}⟹\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}-\frac{1}{\sqrt{a_n}}<\frac{1}{2}$

第三步：累加法求 $a_n$ 下界 利用累加法，对于 $n\ge 2$： $\frac{1}{\sqrt{a_n}}-\frac{1}{\sqrt{a_1}}={\sum }_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}}-\frac{1}{\sqrt{a_k}}\right)<(n-1)\times \frac{1}{2}$ 又因为 $a_1=1$，所以 $\frac{1}{\sqrt{a_1}}=1$。 因此：$\frac{1}{\sqrt{a_n}}<1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$。 （注：当 $n=1$ 时，$\frac{1}{\sqrt{a_1}}=1\le \frac{1+1}{2}$ 也成立）。 取倒数并平方，得到 $a_n$ 的下界： $\sqrt{a_n}\ge \frac{2}{n+1}⟹a_n\ge \frac{4}{(n+1{)}^2}$

第四步：代回原式，局部放缩 回到原递推式 $a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}$。 为了把 $a_{n+1}$ 放大，我们需要把分母变小。既然 $\sqrt{a_n}\ge \frac{2}{n+1}$，那么： $a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\le \frac{a_n}{1+\frac{2}{n+1}}=\frac{a_n}{\frac{n+3}{n+1}}=\frac{n+1}{n+3}{a}_n$ 即：$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{n+1}{n+3}$。

第五步：累乘法求 $a_n$ 上界并裂项求和 利用累乘法求 $a_n$：

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =a_1\times \frac{a_2}{a_1}\times \frac{a_3}{a_2}\times \cdots \times \frac{a_n}{a_{n-1}}\\ & \le 1\times \frac{2}{4}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{6}\times \cdots \times \frac{n}{(n+2)}\end{array}$$

中间项全部对角相消，分子剩下 $2\times 3$，分母剩下 $(n+1)(n+2)$： $a_n\le \frac{6}{(n+1)(n+2)}$ 利用裂项相消法将通项拆开： $a_n\le 6\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$

最后，对前 100 项求和：

$$\begin{array}{rl}{S}_{100}& =\sum _{n=1}^{100}{a}_n\le 6\sum _{n=1}^{100}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\ & =6\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{102}\right)\right]\\ & =6\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{102}\right)\\ & =3-\frac{6}{102}<3\end{array}$$

综上所述：$\frac{3}{2}<S_{100}<3$。 故选 A。

✅【答案】

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A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 递推式见分母加法 $\to$ 想倒数： 看到 $a_{n+1}=\frac{a_n}{A+B\sqrt{a_n}}$ 这种形式，第一反应必须是两边取倒数，化成 $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{A}{a_n}+\frac{B}{\sqrt{a_n}}$，这就把复杂的“分式递推”变成了可以用代数化简的“加法递推”。
• 放缩法的“步步为营”： 本题的放缩极其精妙。先放大 $\frac{1}{a_{n+1}}$ 来寻找 $a_n$ 的最小限制（下界），然后把这个下界塞进原递推式的分母里，从而找出 $a_{n+1}$ 的最大限制（上界），最后累乘出能裂项的通项公式。这需要极强的代数预判能力！

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III理-22 解-数列的递推关系式
• 2006-福建卷理-22 解-数列不等式的证明
• 2012-广东理-19