2015-浙江卷理-10 填-分段函数

本题导读

本题主要考查分段函数的复合求值及利用基本不等式求函数值域（最小值）。解题关键在于根据自变量所在的区间选择正确的函数解析式。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+\frac{2}{x}-3,& x\ge 1\\ \lg (x^2+1),& x<1\end{array}$，则 $f(f(-3))=$ $\underline{}$，$f(x)$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 复合函数求值：首先判断 $-3$ 所在的区间，代入相应的解析式求出 $f(-3)$，再将所得结果作为自变量判断其区间，二次代入求得 $f(f(-3))$。
2. 求最小值：分段讨论每一段函数的取值范围。
   • 对于 $x\ge 1$ 段，利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求最小值，注意检查等号成立的条件。
   • 对于 $x<1$ 段，利用对数函数和二次函数的单调性确定最小值。
   • 最后比较两段的最小值，取其中的全局最小值。

✅【答案】

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$0$；$2\sqrt{2}-3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $f(f(-3))$ 的值

1. 因为 $-3<1$，所以代入下段解析式： $f(-3)=\lg ((-3{)}^2+1)=\lg 10=1$。
2. 接着求 $f(f(-3))=f(1)$。 因为 $1\ge 1$，所以代入上段解析式： $f(1)=1+\frac{2}{1}-3=0$。 故 $f(f(-3))=0$。

第二步：求 $f(x)$ 的最小值

1. 当 $x\ge 1$ 时： $f(x)=x+\frac{2}{x}-3$。 由基本不等式可得：$x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$。 当且仅当 $x=\frac{2}{x}$ 即 $x=\sqrt{2}$（满足 $x\ge 1$）时，等号成立。 所以该段最小值 $f(x{)}_{min}=2\sqrt{2}-3$。

2. 当 $x<1$ 时： $f(x)=\lg (x^2+1)$。 因为 $x^2\ge 0$，所以 $x^2+1\ge 1$。 由于对数函数 $y=\lg u$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增， 所以 $f(x)\ge \lg 1=0$。当 $x=0$ 时取得最小值 $0$。

3. 比较最小值： 因为 $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<3$，所以 $2\sqrt{2}-3<0$。 综合两段情况，$f(x)$ 的全局最小值为 $2\sqrt{2}-3$。

故答案为：$0$；$2\sqrt{2}-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数的“分段处理”原则。每一段的定义域、最值必须独立计算。
• 核心方法：基本不等式。在使用 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 时，必须验证“一正（项为正）、二定（积为定值）、三相等（等号成立的点在定义域内）”。
• 避坑指南：求全局最小值时，容易漏掉不同区间的最小值比较，或者误认为 $\lg (x^2+1)$ 的最小值是负无穷（注意真数 $x^2+1$ 的取值范围）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 含有 $x+\frac{k}{x}$ 结构的函数称为对勾函数，其在正半轴的极值点位于 $x=\sqrt{k}$ 处。 *方法推广: 求解分段函数值域时，通常先画出示意图，有助于直观判断函数在各区间端点和极值点的情况。

• 相关知识点：对数函数的性质、二次函数的性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2022-高考浙江卷-10
• 2021-浙江卷-10 单-数列不等式
• 2019-浙江卷-10 单-递推数列