2021-浙江卷-17 填-向量投影

本题导读

本题考查向量的投影，以及向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）17. 已知平面向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}(\vec{c}\ne \vec{0})$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,\vec{a}\cdot \vec{b}=0,(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0$。记向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a},\vec{b}$ 方向上的投影分别为 $x,y$，$\vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为 $z$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系： 由于 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 且模长已知，可以建立以 $\vec{a}$ 方向为 $x$ 轴、$\vec{b}$ 方向为 $y$ 轴的坐标系。
2. 确定已知量坐标： 写出 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ 的坐标表示。利用 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0$ 确定 $\vec{c}$ 的分量比例。
3. 建立约束方程： 根据投影的定义（${\text{Proj}}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$），将 $x,y,z$ 用坐标表示，从而得到一个关于 $x,y,z$ 的线性方程。
4. 求最值： 面对“已知线性方程，求平方和最小值”，柯西不等式是最直接的武器。

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化 建立平面直角坐标系。 令 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,2)$。满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。 设 $\vec{c}=(m,n)$。 由 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=(1,-2)\cdot (m,n)=m-2n=0$，得 $m=2n$。 取 $n=1,m=2$（投影与向量长度无关），则 $\vec{c}=(2,1)$，$|\vec{c}|=\sqrt{5}$。

第二步：表示 $x,y,z$ 设 $\vec{d}=(x_0,y_0)$。

• $\vec{d}$ 在 $\vec{a}$ 方向投影 $x=\frac{\vec{d}\cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{x_0}{1}=x_0$。
• $\vec{d}$ 在 $\vec{b}$ 方向投影 $y=\frac{\vec{d}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{2y_0}{2}=y_0$。 （所以 $\vec{d}=(x,y)$）
• $\vec{d}-\vec{a}=(x-1,y)$。其在 $\vec{c}$ 方向投影 $z=\frac{(\vec{d}-\vec{a})\cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}$： $z=\frac{2(x-1)+1\cdot y}{\sqrt{5}}=\frac{2x+y-2}{\sqrt{5}}$ 变形得：$2x+y-\sqrt{5}z=2$。

第三步：利用柯西不等式 我们需要求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值，已知 $2x+y-\sqrt{5}z=2$。 由柯西不等式： $(2^2+1^2+(-\sqrt{5}{)}^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (2x+1y-\sqrt{5}z{)}^2$ $(4+1+5)(x^2+y^2+z^2)\ge 2^2$ $10(x^2+y^2+z^2)\ge 4$ $x^2+y^2+z^2\ge \frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ 当且仅当 $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-\sqrt{5}}$ 时，等号成立。

故最小值为 $\frac{2}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 投影的代数本质： 向量 $\vec{A}$ 在 $\vec{B}$ 方向上的投影是一个标量，公式为 $|\vec{A}|\cos \theta$。在坐标系中，如果单位向量方向与轴重合，投影就是对应的坐标分量。
• 柯西不等式的结构： 只要看到 $\sum a_i^2$ 和 $\sum a_i{b}_i$ 的形式，就要考虑柯西不等式。

如果我们把 $(x,y,z)$ 看作三维空间中的一个点 $P$，那么方程 $2x+y-\sqrt{5}z-2=0$ 实际上代表空间中的一个平面。 题目所求的 $x^2+y^2+z^2$ 实际上是原点 $O(0,0,0)$ 到该平面上动点 $P$ 距离的平方（$|OP{|}^2$）。 其最小值即为原点到平面的距离的平方： $d=\frac{|2(0)+1(0)-\sqrt{5}(0)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-\sqrt{5}{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$ $d^2=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ 这种将“代数最值”转化为“空间几何距离”的视角，是破解复杂压轴题的“上帝模式”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-07 单-向量投影
• 2013-湖北卷文-07 单-向量投影
• 2015-福建卷文-07 单-平面向量坐标运算