2015-福建卷文-07 单-平面向量坐标运算

本题导读

考查向量垂直的坐标条件。先写出 $\mathbf{c}$ 的坐标，再用 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=0$ 列方程求 $k$。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 设 $\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf{b}=(1,1)$，$\mathbf{c}=\mathbf{a}+k\mathbf{b}$. 若 $\mathbf{b}\perp \mathbf{c}$，则实数 $k$ 的值等于 ()

A. $-\frac{3}{2}$　　　　　　B. $-\frac{5}{3}$　　　　　　C. $\frac{5}{3}$　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $\mathbf{c}=\mathbf{a}+k\mathbf{b}=(1+k,2+k)$。
2. 垂直 $⟺$ 数量积为零：$(1,1)\cdot (1+k,2+k)=0$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{c}=\mathbf{a}+k\mathbf{b}=(1+k,2+k)$.

由 $\mathbf{b}\perp \mathbf{c}$ 得 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=0$，即

$(1,1)\cdot (1+k,2+k)=(1+k)+(2+k)=3+2k=0,$

解得 $k=-\frac{3}{2}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量加法与数乘的坐标运算；数量积为零与垂直的等价关系。

2. 核心方法：“坐标化 → 数量积为零 → 解一次方程”。

3. 避坑指南：垂直用”数量积为零”，平行用”坐标交叉相等”，两者不能混用；本题若误用平行条件会得到错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：向量垂直/平行条件是平面向量的核心考点，福建卷常以”含参数的向量关系”为载体设置小题。

2. 结论推广: 若改为 $\mathbf{b}\parallel \mathbf{c}$，则 $(1)(2+k)=(1)(1+k)$，即 $k$ 任意（两向量恒不平行时无解，需具体检验：$2+k=1+k$ 无解，故不存在这样的 $k$）。

3. 方法推广: 凡”向量垂直/平行 + 含参”，第一步永远是坐标化，把几何关系翻译成代数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-7