2021-浙江卷-19 解-立几综合

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于几何证明法、空间坐标系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）19. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle ABC=120^{\circ },AB=1,BC=4,PA=\sqrt{15}$，$M,N$ 分别为 $BC,PC$ 的中点，$PD\perp DC,PM\perp MD$。

（1）证明：$AB\perp PM$；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值。

🔍【思路分析】

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第一问： 要证 $AB\perp PM$，由于 $AB\parallel DC$，可转化为证明 $DC\perp PM$。题目已知 $DC\perp PD$，只需再证明 $DC\perp DM$，即可得到 $DC\perp$ 平面 $PDM$。在 $△DCM$ 中，利用余弦定理算出 $DM$ 的长度，再利用勾股定理逆定理证明垂直。 第二问： 建立空间直角坐标系。由（1）可知 $DC\perp$ 平面 $PDM$，故 $PM,DM,DC$ 之间存在天然的垂直关系。计算出各关键点的坐标，求出直线 $AN$ 的方向向量和平面 $PDM$ 的法向量，利用公式 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$ 求解。

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明过程： 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=4$，$\angle ABC=120^{\circ }$。 因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $MC=2$，$DC=AB=1$。 在 $△DCM$ 中，$\angle DCM=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。 由余弦定理： $D{M}^2=D{C}^2+M{C}^2-2DC\cdot MC\cdot \cos 60^{\circ }=1^2+2^2-2\times 1\times 2\times \frac{1}{2}=3$ 所以 $D{C}^2+D{M}^2=1+3=4=M{C}^2$。 由勾股定理逆定理得：$DM\perp DC$。 又已知 $PD\perp DC$，且 $PD\cap DM=D$， 所以 $DC\perp$ 平面 $PDM$。 因为 $PM\subset$ 平面 $PDM$，所以 $DC\perp PM$。 又因为 $AB\parallel DC$，故 $AB\perp PM$。

（2）计算过程： 由（1）知 $AB\perp PM$，且 $PM\perp MD$，而 $AB$ 与 $MD$ 在底面内相交， 故 $PM\perp$ 底面 $ABCD$。 在直角 $△PAM$ 中，$PA=\sqrt{15}$，$AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2-2AB\cdot BM\cos 120^{\circ }}=\sqrt{1+4+2}=\sqrt{7}$。 则 $PM=\sqrt{P{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{15-7}=2\sqrt{2}$。

以 $M$ 为原点，建立空间直角坐标系（如图）。

相关点坐标如下：

• $M(0,0,0)$
• $D(\sqrt{3},0,0)$
• $P(0,0,2\sqrt{2})$
• $C(\sqrt{3},-1,0)$
• $A(-\sqrt{3},2,0)$（由平行四边形性质及投影计算得出）
• $N$ 为 $PC$ 中点，故 $N(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},\sqrt{2})$。

计算向量 $\overrightarrow{AN}$： $\overrightarrow{AN}=(\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\sqrt{3}),-\frac{1}{2}-2,\sqrt{2}-0)=(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2},\sqrt{2})$ 由（1）知 $DC\perp$ 平面 $PDM$，故平面 $PDM$ 的一个法向量 $\vec{n}=(0,1,0)$。 设直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角为 $\theta$： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AN}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\vec{n}|}=\frac{|-\frac{5}{2}|}{\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{25}{4}+2}\times 1}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{15}}=\frac{5}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$ 所以直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$。

✅【答案】

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(1) 证明见详细解析

(2) 直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直关系的转化： 空间中的线线垂直通常要借助线面垂直作为桥梁。在证明 $AB\perp PM$ 时，意识到 $AB$ 与 $DC$ 的平行关系是第一步。
• 建系的“风水宝地”： 建立坐标系时，原点应选在垂直交点。本题中 $M$ 点作为 $PM\perp$ 底面的垂足，且底面内 $MD$ 与包含 $M$ 的另一条垂线构成直角，是理想的建系原点。
• 计算量控制： 线面角的计算中，法向量的选择越简单越好。本题直接利用第一问结论取坐标轴方向作为法向量，大大简化了运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2012-北京卷理-16
• 1995-全国卷理-23