2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$BC\perp CD$，侧面 $SAB$ 为等边三角形．$AB=BC=2$，$CD=SD=1$．

(1) 证明：$SD\perp$ 平面 $SAB$；

(2) 求 $AB$ 与平面 $SBC$ 所成角的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：建系：$B=(0,0,0)$、$A=(2,0,0)$、$C=(0,2,0)$、$D=(1,2,0)$
2. 步骤2：由 $SA=SB=2$、$SD=1$ 解出 $S$
3. 步骤3：证 $\overrightarrow{DS}$ 与 $\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BS}$ 点积为零
4. 步骤4：线面角用法向量

✅【答案】

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(1) 见解析，$SD\perp$ 平面 $SAB$

(2) 所成角为 $\arcsin \frac{\sqrt{21}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 以 $B$ 为原点建系：$B=(0,0,0)$，$A=(2,0,0)$，$C=(0,2,0)$，$D=(1,2,0)$，设 $S=(x,u,v)$。

$SA=SB=2$：$(x-2{)}^2+u^2+v^2=x^2+u^2+v^2=4$，得 $x=1$，$u^2+v^2=3$。

$SD=1$：$(u-2{)}^2+v^2=1$。两式相减：$-4u+4=-2$，$u=\frac{3}{2}$，$v^2=\frac{3}{4}$，取 $v=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\overrightarrow{DS}=(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{AS}=(-1,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{BS}=(1,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。

$\overrightarrow{DS}\cdot \overrightarrow{AS}=0\times (-1)-\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=0$；同理 $\overrightarrow{DS}\cdot \overrightarrow{BS}=0$。

故 $SD\perp SA$，$SD\perp SB$，$SA\cap SB=S$，所以 $SD\perp$ 平面 $SAB$。

(2) 平面 $SBC$ 的法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{BS}\times \overrightarrow{BC}=(-\sqrt{3},0,2)$（可取 $\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$）。取直线 $AB$ 的方向向量 $\overrightarrow{BA}=(2,0,0)$。

$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{BA}||\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，故所成角为 $\arcsin \frac{\sqrt{21}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理；空间向量求线面角 $\sin \theta =\frac{|d\cdot n|}{|d||n|}$

核心方法：坐标法处理不规则棱锥：由距离条件解顶点坐标；垂直用点积为零验证，线面角用法向量一步到位

避坑指南：$v$ 取正负不影响结论但要与图一致；线面角用 $\sin$ 不用 $\cos$；法向量与方向向量点积后要除以两个模长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥垂直与角度综合与 2011-新课标卷文-18（四棱锥垂直与求高）、2012-大纲卷文-19（线面垂直与线面角）、2012-广东卷文-18（四棱锥垂直与体积）同族。

结论推广：推广：本题中 $SD\perp$ 平面 $SAB$ 说明三侧棱构成直角结构，$S-ABCD$ 可视为”墙角锥”；$AB$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ 是可复用的模型数据。

方法推广：立体几何大题：先按”底面平行垂直条件”建系，再由等腰/等边与定长条件解顶点坐标；垂直证明用点积，角度用法向量，全程程序化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角
• 2012-广东卷文-18 解-四棱锥垂直与体积