2021-甲卷文-09 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的前n项和，以及数列的性质。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_2=4$, $S_4=6$, 则 $S_6=$ ( ) A. 7　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 9　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等比数列前 $n$ 项和的性质：若公比 $q\ne -1$，则 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等比数列。
2. 将已知数据代入性质中求出 $S_6-S_4$，进而求出 $S_6$。

✅【答案】

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$S_6=S_4+1=6+1=7$

✍【详细解析】

Abstract

对于等比数列，若 $q=-1$，则 $S_2=a_1+a_2=4$， $S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=6⟹a_3+a_4=2$。 由于 $a_3=-a_2,a_4=-a_1$，此时 $a_3+a_4=-(a_1+a_2)=-S_2=-4\ne 2$，故公比 $q\ne -1$。 因此，数列的各项和片段 $S_2,S_4-S_2,S_6-S_4$ 成等比数列。 已知 $S_2=4$， $S_4-S_2=6-4=2$， 设公比为 $k$，则 $k=\frac{S_4-S_2}{S_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。 从而 $S_6-S_4=(S_4-S_2)\cdot k=2\cdot \frac{1}{2}=1$。 故 $S_6=S_4+1=6+1=7$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前 $n$ 项和的性质。
2. 核心方法：利用 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$ 成等比数列的性质简化计算，避免繁琐的方程组求解。
3. 避坑指南：使用该性质前务必验证公比 $q\ne -1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：数列模块的高频经典性质题。
2. 结论推广：在等比数列中，若 $m,n,p$ 成等差数列，则 $S_m,S_n-S_m,S_p-S_n$ 具备特定的比例或等比关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-17 解-等比数列前n项和推导
• 1990-全国卷理-21 解-等差等比数列综合
• 2006-湖北卷理-02 单-方程组的解法与检验