2013-陕西卷理-17 解-等比数列前n项和推导

本题导读

本题考查等比数列。核心在于错位相减法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.

（I）推导 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和公式；

（II）设 $q\ne 1$，证明数列 $\{a_n+1\}$ 不是等比数列.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（推导公式）：
   • 采用核心方法：错位相减法。
   • 写出 $S_n$ 的展开式，再写出 $q{S}_n$ 的展开式。
   • 两式相减，注意项的对应关系。
   • 关键点：必须讨论 $q=1$ 和 $q\ne 1$ 两种情况。
2. 第二问（证明非等比）：
   • 采用核心方法：反证法。
   • 假设 $\{a_n+1\}$ 是等比数列。
   • 根据等比数列性质，前三项应满足等比中项关系：$(a_2+1{)}^2=(a_1+1)(a_3+1)$。
   • 代入 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 展开化简。
   • 寻找矛盾：推导出与题目已知条件 $q\ne 1$ 或 $a_1\ne 0$ 相悖的结论。

✅【答案】

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（I）解：推导等比数列前 $n$ 项和公式；（II）证明：数列 $\{a_n+1\}$ 不是等比数列

✍【详细解析】

Abstract

（I）解：推导等比数列前 $n$ 项和公式 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$，其前 $n$ 项和为 $S_n$。 则 $S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^{n-1}$ …… ① 将 ① 式两边同乘以 $q$ 得： $q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\cdots +a_1{q}^n$ …… ②

① - ② 得： $(1-q)S_n=a_1-a_1{q}^n=a_1(1-q^n)$

1. 当 $q\ne 1$ 时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
2. 当 $q=1$ 时，$a_1=a_2=\cdots =a_n$，此时 $S_n=n{a}_1$。

综上所述，$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},& q\ne 1\\ n{a}_1,& q=1\end{array}$。

（II）证明：数列 $\{a_n+1\}$ 不是等比数列 用反证法证明。 假设数列 $\{a_n+1\}$ 是等比数列。 则对于其中的项应满足 $(a_2+1{)}^2=(a_1+1)(a_3+1)$。 将 $a_2=a_{1}q,a_3=a_1{q}^2$ 代入上式得： $(a_{1}q+1{)}^2=(a_1+1)(a_1{q}^2+1)$ 展开并化简： $a_1^2{q}^2+2a_{1}q+1=a_1^2{q}^2+a_1+a_1{q}^2+1$ $2a_{1}q=a_1+a_1{q}^2$ $a_1(q^2-2q+1)=0$ $a_1(q-1{)}^2=0$

因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，所以 $a_1\ne 0$。 又已知条件为 $q\ne 1$，则 $a_1(q-1{)}^2\ne 0$。 这与上述方程矛盾，故假设不成立。 所以，数列 $\{a_n+1\}$ 不是等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列公式的推导逻辑及反证法的严谨应用。

核心方法：错位相减法是数列求和中的万能模板；等比中项法是验证数列性质最快捷的手段。

避坑指南：- 第一问推导中如果不讨论 $q=1$，会丢失一半的分值。 - 第二问证明中要明确指出 $a_1\ne 0$（等比数列定义要求）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法证明数列公式、等比中项。

结论推广：等比数列 $\{a_n\}$ 加上一个非零常数后，一般不再成等比数列（除非 $q=1$ 且常数使得数列全为零，但定义要求非零）。

方法推广：类似的“差比数列”和（$a_n=\text{等差}\times \text{等比}$）也可以使用错位相减法求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和
• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列
• 2026-新高考II卷-10 多-等比数列