2021-甲卷文-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）若向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1$, 则 $|\mathbf{b}|=$ _____.

🔍【思路分析】

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1. 对已知条件 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5$ 两边平方，将其转化为含有 $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$ 以及 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 的方程。
2. 代入已知数据解出 $|\mathbf{b}|$ 的值。

✅【答案】

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$3\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=5$，两边平方得： $|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2={\mathbf{a}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2=25$。 又因为 $|\mathbf{a}|=3$，所以 $|\mathbf{a}{|}^2=9$。 代入 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1$ 得： $9-2(1)+|\mathbf{b}{|}^2=25$ $7+|\mathbf{b}{|}^2=25$ $|\mathbf{b}{|}^2=18$ 因为模长非负，所以 $|\mathbf{b}|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。 故答案为：$3\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量模的平方等于向量自身的数量积。
2. 核心方法：利用 $|\mathbf{x}{|}^2={\mathbf{x}}^2$ 进行化简运算。
3. 避坑指南：注意最后开方时要舍去负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量线性运算与数量积的常规基础题。
2. 结论推广：已知向量的模与数量积关系求其他模长时，两边平方是通用且高效的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-13 填-平面向量
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2000-新课标理-04 单-平面向量的数量积性质