2021-甲卷文-14 填-圆锥体积

本题导读

本题考查圆锥的体积与表面积，以及立体几何计算。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）已知一个圆锥的底面半径为 $6$，其体积为 $30\pi$，则该圆锥的侧面积为 _____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 求出圆锥的高 $h$。
2. 利用勾股定理求出圆锥的母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}$。
3. 代入圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$ 计算结果。

✅【答案】

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$39\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的底面半径为 $r=6$，高为 $h$，母线长为 $l$。 由体积公式得： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot h=30\pi$ $12\pi h=30\pi ⟹h=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}$。 在轴截面直角三角形中，母线长： $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$。 圆锥的侧面积为： $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \cdot 6\cdot \frac{13}{2}=39\pi$。 故答案为：$39\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥体积与侧面积公式。
2. 核心方法：通过体积求高，再结合勾股定理求母线。
3. 避坑指南：注意圆锥侧面积公式为 $S=\pi rl$（其中 $l$ 为母线长），切勿错用高 $h$ 代入侧面积公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何度量计算的基础题。
2. 结论推广：涉及圆锥几何量时，底面半径 $r$、高 $h$、母线长 $l$ 满足 $r^2+h^2=l^2$，构成直角三角形关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球
• 2014-天津卷文-10 填-三视图体积