2021-甲卷文-18 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的通项与前n项和的关系。核心在于定义法、平方转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $a_n>0$, $a_2=3a_1$, 且数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列, 证明: $\{a_n\}$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，设出其首项与公差，结合 $a_2=3a_1$ 求出公差。

2. 得到 $\sqrt{S_n}$ 的通项公式后平方求出 $S_n$ 的表达式。

3. 利用 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 求出 $a_n$ 的通项公式，进而通过证明 $a_{n+1}-a_n$ 为常数来证明其为等差数列。

✅【答案】

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$\sqrt{a_1}+d=2\sqrt{a_1}$，解得 $d=\sqrt{a_1}$

✍【详细解析】

Abstract

因为数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，设其首项为 $\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}$，公差为 $d$。

则 $\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+(n-1)d$ （$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

当 $n=2$ 时，$\sqrt{S_2}=\sqrt{a_1}+d$。

因为 $a_2=3a_1$，所以 $S_2=a_1+a_2=4a_1$，从而 $\sqrt{S_2}=\sqrt{4a_1}=2\sqrt{a_1}$ （因为 $a_n>0$，故 $\sqrt{a_1}>0$）。

因此 $\sqrt{a_1}+d=2\sqrt{a_1}$，解得 $d=\sqrt{a_1}$。

所以 $\sqrt{S_n}=\sqrt{a_1}+(n-1)\sqrt{a_1}=n\sqrt{a_1}$。

两边平方得 $S_n=n^2{a}_1$。

当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1^2\cdot a_1=a_1$，符合题意。

当 $n\ge 2$ 时，

$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2{a}_1-(n-1{)}^2{a}_1=(2n-1)a_1$。

对任意 $n\ge 1$，上式均成立。

此时，相邻两项之差为：

$a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-1]a_1-(2n-1)a_1=2a_1$。

因为 $a_1>0$，所以 $2a_1$ 是与 $n$ 无关的常数。

因此，数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_1$ 为首项，$2a_1$ 为公差的等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 求 $a_n$、等差数列的判定。

2. 核心方法：利用 $\sqrt{S_n}$ 的等差性质整体代入求出 $S_n$ 后转化为 $a_n$。

3. 避坑指南：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求出通项后，务必验证 $n=1$ 时的情况是否符合统一表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数列解答题中的常规中档题，重点考查转化划归与逻辑推理能力。

2. 结论推广：若数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 或 $\{\ln S_n\}$ 满足特定等差或等比关系，通常转化为关于 $S_n$ 的显式函数再求 $a_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-12 单-排列组合中的平均分组问题

• 2006-福建卷理-22 解-数列不等式的证明

• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列