2021-甲卷理-10 单-排列组合

本题导读

本题考查概率计算，以及插空法。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）将 $4$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $0$ 随机排成一行，则 $2$ 个 $0$ 不相邻的概率为（　　）

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间：计算将 $4$ 个相同的 $1$ 和 $2$ 个相同的 $0$ 排成一行的所有可能排列总数。这可以看作从 $6$ 个位置中选出 $2$ 个位置放 $0$（或选 $4$ 个位置放 $1$）。

2. 计算目标事件数：要求 $2$ 个 $0$ 不相邻，必须采用插空法。先排好 $4$ 个 $1$，它们之间及两端共形成 $5$ 个空位，从中选出 $2$ 个空位放置 $0$。

3. 求概率：利用古典概型公式 $P=\frac{m}{n}$ 计算最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：全排列去重法与插空法

1. 计算排列总数（分母 $n$）：

将 $4$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $0$ 随机排成一行，共有 $6$ 个元素。

由于 $1$ 和 $0$ 分别是内部不可区分的相同元素，总的排列数为 $6$ 个元素的全排列除以相同元素的内部排列：

$n=\frac{{\text{A}}_6^6}{{\text{A}}_4^4\cdot {\text{A}}_2^2}=\frac{720}{24\times 2}=15\text{ 种}$

2. 计算 2 个 0 不相邻的排列数（分子 $m$）：

采用插空法处理“不相邻”问题。

先将 $4$ 个相同的 $1$ 排好，因为它们是相同元素，所以只有 $1$ 种排法。

这 $4$ 个 $1$ 的两端及中间共形成 $5$ 个空位（即 $\_1\_1\_1\_1\_$）。

要使 $2$ 个 $0$ 不相邻，只需从这 $5$ 个空位中任选 $2$ 个放置 $0$：

$m={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\text{ 种}$

3. 计算概率：

故 $2$ 个 $0$ 不相邻的概率为：

$P=\frac{m}{n}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

解法二：组合选位法（通俗转化）

1. 样本空间：将 $4$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $0$ 安排在 $6$ 个位置上。只需从 $6$ 个位置中选择 $2$ 个位置安排 $0$（剩下的位置自动安排 $1$），共有 ${\text{C}}_6^2=15$ 种排法。

2. 目标事件：要使 $2$ 个 $0$ 不相邻，先将 $4$ 个 $1$ 排成一列。这 $4$ 个 $1$ 提供了 $5$ 个可以安排 $0$ 的空位。从这 $5$ 个空位中选出 $2$ 个位置安排 $0$，共有 ${\text{C}}_5^2=10$ 种排法。

3. 计算概率：$P=\frac{{\text{C}}_5^2}{{\text{C}}_6^2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。

结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

1. 相同元素排列转化：含有相同元素的排列问题，通常可以直接转化为**“组合选位”**问题（如将 $\frac{{\text{A}}_n^n}{{\text{A}}_m^m{\text{A}}_k^k}$ 转化为 ${\text{C}}_n^m$），这样能极大简化思维负担并减少运算量。

2. 插空法：解决“元素不相邻”问题的绝对通法。口诀：“先排其余定骨架，再找空位插进去”。

• 避坑指南：如果强行套用全排列去计算（例如把 4 个 1 视为互不相同的 $1_a,1_b,1_c,1_d$），虽然分子分母都放大了 ${\text{A}}_4^4\cdot {\text{A}}_2^2$ 倍最终结果一致，但在计算过程中数字会变得非常庞大（分母 720，分子 480），极易算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

• 2005-辽宁卷-15 填-排列组合

• 2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率