本题导读
本题考查球的截面性质，以及三棱锥。
📌【题干】
Question
（2021年甲卷理）已知 是半径为 的球 的球面上的三个点，且 ，，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
确定底面特征与外接圆心：已知在 中，，即 为直角三角形。根据平面几何性质，直角三角形的外接圆圆心 位于斜边 的中点。
利用球的截面性质定高：根据球的截面性质，球心 与截面圆心 的连线必定垂直于截面，即 平面 。故 即为三棱锥 的高。
几何计算：
在 中求出斜边 ，进而得出截面圆半径 。
在由球心、截面圆心和球面上一点构成的 中，利用勾股定理结合球的半径 计算出高 。
计算体积：代入三棱锥体积公式 求解。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
1. 分析底面 的几何特征：
因为 且 ，
所以底面 为等腰直角三角形。
其面积为 。
2. 确定截面圆心位置：
所在的截面是一个圆（球的小圆）。
因为 是直角三角形，它的外接圆圆心 必然是斜边 的中点。
根据勾股定理，斜边 。
故截面圆的半径 。
3. 计算三棱锥的高 ：
根据球的性质，球心与截面圆心的连线垂直于该截面，即 平面 。
此时 即为三棱锥的高。
在 中，斜边 是球的半径，已知 。
根据勾股定理：
OO_1 = \sqrt{OA^2 - AO_1^2}$$$$OO_1 = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
4. 计算三棱锥的体积：
V_{O-ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot OO_1$$$$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}
结论：
对应选项 A 正确。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心技巧：处理球与多面体的内接问题，最重要的一步是寻找截面圆的圆心。对于直角三角形，外心在斜边中点；对于正三角形，外心是重心。
规律总结：球的核心计算模型是 （球心、截面圆心、截面边缘点），它连接了球的半径 、截面圆半径 和弦心距（几何体的高）：。熟练构建这个直角三角形是解决球体题目的关键。
避坑指南：在计算最终体积时，三棱锥的体积公式带有系数 ，底面三角形的面积公式带有系数 ，切忌遗漏导致错选干扰项。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
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