2008-湖北卷文-04 单-球截面与体积

本题导读

截面圆面积 $\pi$ 得 $r=1$，$R^2=1^2+1^2=2$，$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}\pi }{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 用与球心距离为 $1$ 的平面去截球，所得的截面面积为 $\pi$，则球的体积为()

A. $\frac{8\pi }{3}$　　　　　　B. $\frac{8\sqrt{2}\pi }{3}$　　　　　　C. $8\sqrt{2}\pi$　　　　　　D. $\frac{32\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

球心到截面的距离 $d=1$ 与截面半径 $r$、球半径 $R$ 满足 $R^2=d^2+r^2$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，截面圆的半径为 $r$. 由截面面积为 $\pi$ 得 $\pi r^2=\pi$，$r=1$. 球心到截面的距离 $d=1$，由勾股定理 $R^2=d^2+r^2=1+1=2$，$R=\sqrt{2}$. 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}\pi }{3}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面与体积

核心方法：$R^2=d^2+r^2$，由截面面积定 $r$ 后求 $R$

避坑指南：截面面积是 $\pi$ 不是直径；${\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$，立方别算成平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面性质（教材习题延伸）

结论推广：凡涉及截面，先写 $R^2=d^2+r^2$；截面面积给出 $r$，距心距离给出 $d$

方法推广：球的问题画大圆截面图，把立体问题平面化，勾股定理是核心工具

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-07 单-球与内接正方体
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2012-湖北卷理-04 单-三视图识别
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积