2021-甲卷理-17 解-独立性检验

本题导读

本题考查频率的计算。核心在于频率估算法、卡方检验法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 $200$ 件产品，产品的质量情况统计如下表：

		一级品	二级品
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有 $99\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$．

$P(K^2⩾k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求频率）：根据表格直接读取甲、乙机床的一级品频数，分别除以它们各自生产的总件数（即 $200$），即可得到频率。

2. 第二问（独立性检验）：

   • 提取列联表数据：识别出 $a=150,b=50,c=120,d=80$，以及总样本量 $n=400$。

   • 计算 $K^2$ 观测值：将数据代入公式，注意大数的乘法与因式分解化简，避免强行展开导致计算错误。

   • 结论判定：将算出的 $K^2$ 值与附表中 $99\%$ 把握对应的临界值（即 $P=0.010$ 对应的 $6.635$）进行比较。若大于临界值，则有把握认为有差异；否则没有。

✅【答案】

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(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{3}{5}$

(2) 有 $99\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异

✍【详细解析】

Abstract

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

由题意及统计表可知，甲机床和乙机床生产的总数均为 $200$ 件。

1. 计算甲机床一级品频率：

   甲机床生产的一级品频数为 $150$。

   则甲机床一级品的频率为：

   $f_{\text{甲}}=\frac{150}{200}=\frac{3}{4}=0.75$

2. 计算乙机床一级品频率：

   乙机床生产的一级品频数为 $120$。

   则乙机床一级品的频率为：

   $f_{\text{乙}}=\frac{120}{200}=\frac{3}{5}=0.60$

结论：甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{3}{5}$（或 $0.75$ 和 $0.6$）。

（2）能否有 $99\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

1. 提取公式所需数据：

   根据 $2\times 2$ 列联表，边际和分别为：

   $a+b=200$，$c+d=200$；

   $a+c=270$，$b+d=130$；

   总数 $n=400$。

2. 代入公式计算 $K^2$ 观测值：

   K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$$$K^2 = \frac{400 \times (150 \times 80 - 50 \times 120)^2}{200 \times 200 \times 270 \times 130}

   进行数值化简：

   分子中的括号项：$150\times 80-50\times 120=12000-6000=6000$。

   原式变为：

   K^2 = \frac{400 \times 6000^2}{200 \times 200 \times 270 \times 130}$$$$K^2 = \frac{400 \times 36000000}{40000 \times 35100} = \frac{360000}{35100} = \frac{3600}{351} = \frac{400}{39}

   执行除法计算：

   $\frac{400}{39}\approx 10.256$。

3. 临界值比对与结论：

   因为 $99\%$ 把握对应的误差概率为 $0.010$，查附表得临界值 $k=6.635$。

   因为 $10.256>6.635$。

结论：所以有 $99\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 分离常数化简法：在计算 $K^2$ 分子时，提取公因式可以极大降低运算难度。例如 $150\times 80-50\times 120=100\times (15\times 8-5\times 12)=100\times (120-60)=6000$。

  2. 表格整体带入：公式中的分母 $(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)$ 其实就是列联表中最后一行和最后一列四个“合计”数值的乘积（不含总计），不要去拆散硬算。

• 规律总结：高考解答题的第 17 题若考查独立性检验，通常是送分题。文字描述要严谨，必须写出**“因为观测值 > 临界值，所以有 XX% 的把握认为…”**的完整句式。

• 避坑指南：

  • 在回答第一问时，不要把百分数、分数、小数混用，建议给出最简分数。

  • 在第二问计算 $K^2$ 时，注意 $(ad-bc{)}^2$ 不要漏掉平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率
• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验