2022-上海卷-07 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 二项式 $(3+x{)}^n$ 的展开式中，$x^2$ 项的系数是常数项的 $5$ 倍，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项式定理，写出 $(3+x{)}^n$ 展开式的通项公式 $T_{k+1}=C_n^k\cdot 3^{n-k}\cdot x^k$。

2. 表示指定项的系数：分别令 $k=2$ 和 $k=0$，表示出 $x^2$ 项的系数和常数项。

3. 列方程求解：根据题目给定的“系数是常数项的5倍”这一比例关系列出关于 $n$ 的方程，求解二次方程即可得到正整数 $n$ 的值。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

解析过程：

二项式 $(3+x{)}^n$ 的展开式的通项公式为：

$T_{k+1}=C_n^k\cdot 3^{n-k}\cdot x^k$

要找 $x^2$ 项的系数，令 $k=2$，则 $x^2$ 项的系数为：

$C_n^2\cdot 3^{n-2}$

要找常数项，令 $k=0$，则常数项为：

$C_n^0\cdot 3^{n-0}=1\cdot 3^n=3^n$

根据题意，$x^2$ 项的系数是常数项的 $5$ 倍，故可列出等式：

$C_n^2\cdot 3^{n-2}=5\times 3^n$

展开组合数 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，代入等式得：

$\frac{n(n-1)}{2}\cdot 3^{n-2}=5\cdot 3^n$

等式两边同时除以 $3^{n-2}$ （利用同底数幂相除性质 $\frac{3^n}{3^{n-2}}=3^{n-(n-2)}=3^2$），得：

\frac{n(n-1)}{2} = 5 \times 3^2$$$$\frac{n(n-1)}{2} = 45$$$$n(n-1) = 90

解这个关于 $n$ 的一元二次方程 $n^2-n-90=0$：

$(n-10)(n+9)=0$

解得 $n=10$ 或 $n=-9$。

因为在二项式定理中，指数 $n$ 必须为正整数，故舍去 $n=-9$。

所以，$n=10$。

故答案为：$10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式/概念：

  • 二项式 $(a+b{)}^n$ 的通项公式：$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k(k=0,1,2,\dots ,n)$。

  • 组合数计算公式：$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，且需牢记 $C_n^0=1$。

• 试题评价：本题主要考查二项式定理的应用以及二项式展开式的通项公式，结合了基本的方程求解，属于基础题。

• 易错提醒：

  • 忽略常数因子：在求 $x^2$ 项系数时，容易只写组合数 $C_n^2$，而忘记了前面项的系数贡献 $3^{n-2}$。这是学生最常犯的错误。

  • 指数运算错误：在化简 $3^{n-2}$ 与 $3^n$ 时，部分学生容易算错幂指数差。

  • 定义域遗忘：求解出 $n$ 后，务必检查是否为正整数（实际做题时 $n(n-1)=90$ 直接观察即可看出是 $10\times 9$，无需刻意化为标准二次方程）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项
• 2013-新课标I卷理-09 单-二项式系数
• 2013-江西卷理-05 单-二项展开式的通项