2013-新课标I卷理-09 单-二项式系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式系数及其性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 设 $m$ 为正整数，$(x+y{)}^{2m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a$，$(x+y{)}^{2m+1}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$，若 $13a=7b$，则 $m=$()

A. 5　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 明确二项式系数最大值的性质：
   • 对于 $(a+b{)}^n$，当 $n$ 为偶数时，展开式共有 $n+1$ 项，中间项的二项式系数最大，即 $C_n^{\frac{n}{2}}$。
   • 当 $n$ 为奇数时，展开式共有 $n+1$ 项，中间两项的二项式系数相等且最大，即 $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ 或 $C_n^{\frac{n+1}{2}}$。
2. 写出 $a,b$ 的表达式：
   • 针对 $(x+y{)}^{2m}$，$a=C_{2m}^m$。
   • 针对 $(x+y{)}^{2m+1}$，$b=C_{2m+1}^m$（或 $C_{2m+1}^{m+1}$）。
3. 建立并求解方程：根据 $13a=7b$ 列出关于 $m$ 的方程，利用组合数阶乘公式或递推关系化简求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $a,b$ 的组合数形式 根据二项式系数的对称性与增减性：

• $(x+y{)}^{2m}$ 指数为偶数，其展开式共 $2m+1$ 项，最大二项式系数为第 $m+1$ 项的系数： $a=C_{2m}^m$
• $(x+y{)}^{2m+1}$ 指数为奇数，其展开式共 $2m+2$ 项，最大二项式系数为中间两项（第 $m+1,m+2$ 项）的系数： $b=C_{2m+1}^m=C_{2m+1}^{m+1}$

第二步：代入已知等式列方程 已知 $13a=7b$，即： $13\cdot C_{2m}^m=7\cdot C_{2m+1}^m$

第三步：化简求解 利用组合数计算公式 $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$： $13\cdot \frac{(2m)!}{m!\cdot m!}=7\cdot \frac{(2m+1)!}{m!\cdot (m+1)!}$ 两边同时约去 $(2m)!$ 和 $\frac{1}{m!\cdot m!}$，得： $13=7\cdot \frac{2m+1}{m+1}$ 去分母： $13(m+1)=7(2m+1)$ $13m+13=14m+7$ 解得 $m=6$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数 $C_n^k$ 的性质。要分清“二项式系数”与“项系数”的区别，二项式系数仅与指数 $n$ 有关。

核心方法：阶乘化简法。在处理含有组合数的等式时，将其化为阶乘形式是解决问题的通用方法。

避坑指南：- 牢记奇偶项数规律：$n$ 次方有 $n+1$ 项。 - 注意 $C_{2m+1}^m$ 与 $C_{2m}^m$ 的倍数关系也可以利用公式 $C_{n+1}^k=\frac{n+1}{n-k+1}{C}_n^{k-1}$（此处不适用）或 $C_{n+1}^k=\frac{n+1}{n-k+1}{C}_n^k$ 的变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：杨辉三角的性质、组合数的对称性 $C_n^k=C_n^{n-k}$。

结论推广：在帕斯卡三角形（杨辉三角）中，每一行最大的数总是位于该行的中央。

方法推广：若题目涉及展开式各项系数之和，通常采用“赋值法”（令变量为1）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-07 填-二项式系数
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2026-天津卷-11 填-二项式定理