2022-上海卷-18 解-对数函数综合

本题导读

本题考查函数图像的平移变换。核心在于待定系数法（求参数）、等价转化法（解对数不等式）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 已知函数 $f(x)={\log }_3(a+x)+{\log }_3(6-x)$．

（1）若将函数 $f(x)$ 图像向下平移 $m(m>0)$ 个单位后，图像经过 $(3,0)$，$(5,0)$ 两点，求实数 $a$，$m$ 的值；

（2）若 $a>-3$ 且 $a\ne 0$，求解关于 $x$ 的不等式 $f(x)⩽f(6-x)$．

🔍【思路分析】

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（1）求参数值：利用“上加下减”的平移法则，写出平移后函数 $y=f(x)-m$ 的解析式。将已知经过的两个点的坐标分别代入解析式，得到关于 $a$ 和 $m$ 的方程组，解方程组即可。

（2）解含参不等式：首先将不等式 $f(x)⩽f(6-x)$ 具体化，化简为对数相加的形式。利用对数的单调性脱去对数符号时，必须列出等价不等式组，尤其要保证所有真数大于0。化简后得到 $a(x-3)\ge 0$ 的形式，此时由于 $a$ 的正负未知，需要结合已知条件 $a>-3$ 且 $a\ne 0$，分 $-3<a<0$ 和 $a>0$ 两种情况进行分类讨论，最后将解得的 $x$ 范围与定义域求交集。

✅【答案】

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(1) $a=-2$，$m=1$

(2) 当 $-3<a<0$ 时，不等式的解集为 $(-a,3]$

当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $[3,6)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）计算实数 $a$ 和 $m$ 的值

已知函数 $f(x)={\log }_3(a+x)+{\log }_3(6-x)$。

将函数 $f(x)$ 图像向下平移 $m(m>0)$ 个单位后，得到的新函数解析式为：

$y=f(x)-m={\log }_3(a+x)+{\log }_3(6-x)-m$

因为该函数图像经过点 $(3,0)$ 和 $(5,0)$，将两点坐标代入得方程组：

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(a+3)+{\log }_3(6-3)-m=0\\ {\log }_3(a+5)+{\log }_3(6-5)-m=0\end{array}$

化简得：

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(a+3)+1-m=0\text{(1)}\\ {\log }_3(a+5)+0-m=0\text{(2)}\end{array}$

由②得 $m={\log }_3(a+5)$，代入①式得：

\log_{3}(a+3) + 1 - \log_{3}(a+5) = 0$$$$\Rightarrow \log_{3}(a+3) + \log_{3}3 = \log_{3}(a+5)$$$$\Rightarrow \log_{3}[3(a+3)] = \log_{3}(a+5)$$$$\Rightarrow 3(a+3) = a+5

解得：$2a=-4\Rightarrow a=-2$。

将 $a=-2$ 代入 $m={\log }_3(a+5)$ 中，得 $m={\log }_{3}3=1$。

所以，$a=-2$，$m=1$。

（2）解不等式 $f(x)⩽f(6-x)$

当 $a>-3$ 且 $a\ne 0$ 时，不等式化为：

${\log }_3(a+x)+{\log }_3(6-x)⩽{\log }_3[a+(6-x)]+{\log }_3[6-(6-x)]$

即：

${\log }_3(a+x)+{\log }_3(6-x)⩽{\log }_3(a+6-x)+{\log }_{3}x$

此不等式等价于以下不等式组（包含真数大于0的定义域条件与脱去对数符号后的代数不等式条件）：

$\{\begin{array}{l}a+x>0\text{(真数条件)}\\ 6-x>0\text{(真数条件)}\\ a+6-x>0\text{(真数条件)}\\ x>0\text{(真数条件)}\\ (a+x)(6-x)⩽(a+6-x)x\text{(底数3>1，不等号方向不变)}\end{array}$

解前四个定义域不等式得：

$x>-a,x<6,x<a+6,x>0$

化简第五个核心不等式：

6a - ax + 6x - x^2 \leqslant ax + 6x - x^2$$$$\Rightarrow 6a - 2ax \leqslant 0$$$$\Rightarrow 2a(3-x) \leqslant 0$$$$\Rightarrow a(x-3) \ge 0

现在对不等式组进行统合，等价于：

$\{\begin{array}{l}x>-a\\ x<6\\ x<a+6\\ x>0\\ a(x-3)\ge 0\end{array}$

由于 $a$ 的正负会影响 $a(x-3)\ge 0$ 的解集方向，结合题设 $a>-3$ 且 $a\ne 0$，我们分两类情况讨论：

情况一：当 $-3<a<0$ 时

此时 $a$ 为负数，由 $a(x-3)\ge 0$ 两边同除以 $a$（变号），得 $x-3⩽0\Rightarrow x⩽3$。

同时，定义域条件为：$x>-a$（此时 $-a>0$ 且 $-a<3$），$x>0$，因此下界取 $x>-a$；

$x<6$，$x<a+6$（由于 $-3<a<0$，所以 $3<a+6<6$），上界取 $x<a+6$。

取交集：要求 $x⩽3$，且 $x>-a$。

所以此时不等式的解集为：$-a<x⩽3$。

情况二：当 $a>0$ 时

此时 $a$ 为正数，由 $a(x-3)\ge 0$ 两边同除以 $a$（不变号），得 $x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3$。

同时，定义域条件为：$x>-a$（此时 $-a<0$），$x>0$，下界取 $x>0$；

$x<6$，$x<a+6$（此时 $a+6>6$），上界取 $x<6$。

即定义域要求 $0<x<6$。

结合 $x\ge 3$，取交集得此时不等式的解集为：$3⩽x<6$。

综上所述：

当 $-3<a<0$ 时，不等式 $f(x)⩽f(6-x)$ 的解集是 $(-a,3]$；

当 $a>0$ 时，不等式 $f(x)⩽f(6-x)$ 的解集是 $[3,6)$。

1. 防错重点——定义域优先：在解包含对数（或偶次根号、分式）的不等式时，绝对不能仅仅去解脱去符号后的不等式。必须建立一个联立的不等式组，强制让所有的“真数”都大于0。本题中如果漏掉了 $x>-a$ 等条件，在最终取交集时边界就会出错。

2. 分类讨论的标准：遇到含参的乘积不等式如 $a(x-3)\ge 0$，一定要根据系数 $a$ 的正负进行分类讨论。除以负数时不等号要改变方向。

3. 交集的严谨性：在综合定义域 $x>-a,x<6,x<a+6,x>0$ 时，建议在草稿纸上画数轴，特别要注意在不同的 $a$ 的取值范围内（如 $-3<a<0$），几个边界值（$0,-a,6,a+6$）之间的大小关系。

💡【考点归纳与避坑指南】

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1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 1995-全国卷理-24
• 2008-大纲卷I理-09