2022-上海卷-21 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的递推公式。核心在于递推迭代法、构造反例法（判断假命题）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷）已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ 且 $n ⩾ 2$ ，均存在正整数 $i \in [1, n - 1]$ ，满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{i}$ 。已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ 。

（1）求 $a_{4}$ 的可能值；

（2）已知命题 $p$ ：若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 成等差数列，则 $a_{9} < 30$ 。证明命题 $p$ 为真，同时写出命题 $p$ 的逆命题 $q$ ，并判断命题 $q$ 的真假，说明理由；

（3）若对任意 $m \in N^{*}$ ，都有 $a_{2 m} = 3^{m}$ 成立，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）代入递推：利用已知条件 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{i} (1 \leq i \leq n - 1)$ 依次计算 $a_{3}$ 和 $a_{4}$ 即可。

（2）等差性质与构造反例：正向证明时，利用前8项成等差数列确定公差，求出 $a_{8}$ 和前7项的值，结合递推式找出 $a_{9}$ 的最大可能值从而证明 $< 30$ ；写逆命题时注意条件与结论互换，判断为假则只需精准构造出一组反例（前8项不是等差数列，但 $a_{9} < 30$ ）即可。

（3）归纳单调性与代数消元：

第一步：利用给定的 $a_{2 m} = 3^{m}$ 联立奇数项与偶数项的递推关系，得到核心等式 $2 a_{j} + a_{i} = 3^{m}$ 。

第二步：利用数学归纳法严格证明数列 ${a_{n}}$ 是严格单调递增的，这为后续的放缩和矛盾推导提供依据。

第三步：对下标 $j$ 进行分类讨论（ $j = 2 m - 1$ 、 $j = 2 m - 2$ 、 $j \leq 2 m - 3$ ）。利用数列的单调递增性，证明出第一种和第三种情况必然导出矛盾，从而锁定唯一合法的路径 $j = 2 m - 2$ ，推导出奇数项通项公式，最后分段整合即可。

✅【答案】

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(1) $a_{4} = 7$ 或 $a_{4} = 9$

(2) 命题 $p$ 为真证明见解析

逆命题 $q$ 为假，反例见解析

(3) $a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 5 \times 3^{\frac{n - 3}{2}}, 3^{\frac{n}{2}}, n = 1 n = 2 k + 1 (k \in N^{*}) n = 2 k (k \in N^{*})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $a_{4}$ 的可能值

由题意 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{i} (1 ⩽ i ⩽ n - 1)$ 。

当 $n = 2$ 时， $i$ 只能取 $1$ ：

$a_{3} = 2 a_{2} - a_{1} = 2 \times 3 - 1 = 5$ 。

当 $n = 3$ 时， $i$ 可以取 $1$ 或 $2$ ：

若 $i = 1$ ， $a_{4} = 2 a_{3} - a_{1} = 2 \times 5 - 1 = 9$ ；

若 $i = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{3} - a_{2} = 2 \times 5 - 3 = 7$ 。

所以 $a_{4}$ 的可能值为 $7$ 或 $9$ 。

（2）证明命题 $p$ 为真，写出逆命题 $q$ 并判断真假

① 证明命题 $p$ 为真：

已知 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 成等差数列，且 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ，则公差 $d = 2$ 。

对于 $1 ⩽ n ⩽ 8$ ， $a_{n} = 1 + (n - 1) \times 2 = 2 n - 1$ 。

所以 $a_{8} = 15$ 。

根据递推关系， $a_{9} = 2 a_{8} - a_{i} (1 ⩽ i ⩽ 7)$ 。

由等差数列的通项可知，前 7 项的值分别为 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ ，其中最小值为 $a_{1} = 1$ 。

因此 $a_{9} = 30 - a_{i} ⩽ 30 - a_{1} = 29 < 30$ 。

故命题 $p$ 为真。

② 写出逆命题 $q$ 并判断真假：

命题 $p$ 的逆命题 $q$ 为：“若 $a_{9} < 30$ ，则 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 成等差数列。”

判断：命题 $q$ 为假命题。

理由（构造反例）：

我们构造数列前 9 项满足递推关系，且 $a_{9} < 30$ ，但前 8 项不成等差数列。

设 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 5, a_{4} = 7, a_{5} = 9, a_{6} = 11, a_{7} = 13$ （此时 $d = 2$ 成等差）。

计算 $a_{8}$ 时，我们取 $i = 5$ ，则 $a_{8} = 2 a_{7} - a_{5} = 2 \times 13 - 9 = 17$ 。

计算 $a_{9}$ 时，我们取 $i = 7$ ，则 $a_{9} = 2 a_{8} - a_{7} = 2 \times 17 - 13 = 21$ 。

此时 $a_{9} = 21 < 30$ 满足逆命题的条件，但前 8 项为 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17$ ，显然不构成等差数列。反例成立。

（3）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

已知 $a_{2 m} = 3^{m} (m \in N^{*})$ 。

则 $a_{2 m + 2} = 3^{m + 1}$ 。

由定义存在 $j ⩽ 2 m - 1$ ，使得 $a_{2 m + 1} = 2 a_{2 m} - a_{j}$ ；

存在 $i ⩽ 2 m$ ，使得 $a_{2 m + 2} = 2 a_{2 m + 1} - a_{i}$ 。

将前式代入后式得：

$a_{2 m + 2} = 2 (2 a_{2 m} - a_{j}) - a_{i} = 4 a_{2 m} - 2 a_{j} - a_{i}$

即 $3^{m + 1} = 4 \times 3^{m} - (2 a_{j} + a_{i})$

化简得核心等式： $2 a_{j} + a_{i} = 3^{m} = a_{2 m}$ （*式）

【引理证明：数列 ${a_{n}}$ 严格单调递增】

用数学归纳法证明 $a_{n + 1} > a_{n} > 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立：

当 $n = 1$ 时， $a_{2} = 3 > a_{1} = 1 > 0$ ，显然成立。

假设当 $n = k$ 时结论成立，即 $a_{k} > a_{k - 1} > \dots > a_{1} > 0$ 。

当 $n = k + 1$ 时， $a_{k + 1} = 2 a_{k} - a_{t} (1 ⩽ t ⩽ k - 1)$ 。

则 $a_{k + 1} - a_{k} = a_{k} - a_{t}$ 。

由于假设中数列单调递增，且 $t ⩽ k - 1 < k$ ，故 $a_{k} > a_{t}$ 恒成立，即 $a_{k + 1} - a_{k} > 0$ 。

所以数列 ${a_{n}}$ 严格单调递增。

回到（*式） $2 a_{j} + a_{i} = a_{2 m}$ ，且 $j ⩽ 2 m - 1$ 。对 $j$ 的取值进行分类讨论：

情形一：若 $j = 2 m - 1$

代入（*式）得 $2 a_{2 m - 1} + a_{i} = a_{2 m}$ 。

由递推定义 $a_{2 m} = 2 a_{2 m - 1} - a_{k} (1 ⩽ k ⩽ 2 m - 2)$ 。

联立得 $2 a_{2 m - 1} + a_{i} = 2 a_{2 m - 1} - a_{k} ⟹ a_{i} + a_{k} = 0$ 。

由引理知数列各项均为正数，故 $a_{i} + a_{k} = 0$ 矛盾！此情况不成立。

情形二：若 $j = 2 m - 2$

此时 $a_{j} = a_{2 m - 2} = 3^{m - 1}$ 。

代入（*式）得 $2 \times 3^{m - 1} + a_{i} = 3^{m} ⟹ a_{i} = 3^{m} - 2 \times 3^{m - 1} = 3^{m - 1}$ 。

即 $a_{i} = a_{2 m - 2}$ 。因为数列严格单调递增，必定有 $i = 2 m - 2$ 。

此时可以解出 $a_{2 m + 1}$ ：

$a_{2 m + 1} = 2 a_{2 m} - a_{j} = 2 \times 3^{m} - 3^{m - 1} = 6 \times 3^{m - 1} - 3^{m - 1} = 5 \times 3^{m - 1}$ 。

这为我们提供了奇数项的通项线索。

情形三：若 $j ⩽ 2 m - 3$

由单调递增性， $a_{j} ⩽ a_{2 m - 3} < a_{2 m - 2} = 3^{m - 1}$ 。

代入（*式）得 $a_{i} = 3^{m} - 2 a_{j} > 3^{m} - 2 \times 3^{m - 1} = 3^{m - 1} = a_{2 m - 2}$ 。

因为 $a_{i} > a_{2 m - 2}$ 且 $i ⩽ 2 m$ ，所以 $i$ 只能等于 $2 m - 1$ 或 $2 m$ 。

若 $i = 2 m$ ： $a_{2 m + 2} = 2 a_{2 m + 1} - a_{2 m} ⟹ 3^{m + 1} = 2 a_{2 m + 1} - 3^{m} ⟹ a_{2 m + 1} = 2 \times 3^{m}$ 。

再代回 $a_{2 m + 1} = 2 a_{2 m} - a_{j}$ ，得 $2 \times 3^{m} = 2 \times 3^{m} - a_{j} ⟹ a_{j} = 0$ ，与各项为正矛盾！

若 $i = 2 m - 1$ ：代入（*式）得 $2 a_{j} + a_{2 m - 1} = 3^{m}$ 。

这个等式必须对所有 $m$ 成立。当 $m = 2$ 时， $j ⩽ 2 (2) - 3 = 1 ⟹ j = 1$ 。

代入得 $2 a_{1} + a_{3} = 3^{2} = 9$ 。因为 $a_{1} = 1$ ，解得 $a_{3} = 7$ 。

但由第（1）问已知 $a_{3} = 5 \neq = 7$ ，矛盾！此情况也不成立。

综上所述，只有情形二成立。

对于奇数项，当 $n ⩾ 3$ 且 $n = 2 m + 1 (m \in N^{*})$ 时，

$a_{n} = a_{2 m + 1} = 5 \times 3^{m - 1} = 5 \times 3^{\frac{n - 3}{2}}$ 。

对于偶数项，当 $n = 2 m (m \in N^{*})$ 时，

$a_{n} = a_{2 m} = 3^{m} = 3^{\frac{n}{2}}$ 。

又因为 $a_{1} = 1$ 不包含在 $5 \times 3^{\frac{n - 3}{2}}$ 的公式中，需单独列出。

所以数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为：

$a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 5 \times 3^{\frac{n - 3}{2}}, 3^{\frac{n}{2}}, n = 1 n = 2 k + 1 (k \in N^{*}) n = 2 k (k \in N^{*})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

逆命题与否命题的区别：在第（2）问中，命题 $p \Rightarrow q$ 的“逆命题”是将条件和结论互换（ $q \Rightarrow p$ ），而“否命题”是条件结论同时否定（ $\neg p \Rightarrow \neg q$ ）。不要混淆两者。

反例构造的精准性：证明一个全称命题为假，只需要举出一个完全符合前提条件，但不符合结论的例子。本题在构造前8项数列时，只需保证前若干项递推合法且不是等差数列，同时确保最后推出的 $a_{9} < 30$ 即可。

单调性在数列压轴题中的妙用：在第（3）问中面对 $2 a_{j} + a_{i} = 3^{m}$ 时，很多学生会感到无从下手。突破口在于先用归纳法证明数列是递增的。有了大小关系 $a_{1} < a_{2} < a_{3} \dots$ ，我们就能利用下标的大小转化为数值的界限（不等式），从而证明某些下标组合必然导致矛盾（如 $< 0$ 或与初值不符），这是解决高端数列方程的核心思维。

📖【试题探源与推广】

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试题探源：待补

结论推广：待补

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19.03 数列通项公式求法全攻略

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2014-湖南卷理-20 解-数列通项

2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

2003-广东卷-22

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