2014-湖南卷理-20 解-数列通项

本题导读

本题考查数列通项公式的动画。首先询问利用等差项性质建立的有关$p$的方程；第二问是难点，需要通过奇偶项的不同单调性去掉绝对值符号，并利用累加法结合等比数列求和公式推导通项。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,|a_{n+1}-a_n|=p^n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 若$\{a_n\}$为递增数列，且$a_1,2a_2,3a_3$成等差数列，求$p$的值；

(2) 若$p=\frac{1}{2}$，且$\{a_{2n-1}\}$是递增数列，$\{a_{2n}\}$是传递减数列，求数列$\{a_n\}$的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

   • 因为$\{a_n\}$是递增数列，所以$a_{n+1}-a_n>0$，从而得到绝对值$a_{n+1}-a_n=p^n$。

   • 分别令$n=1,2$求出$a_2$和$a_3$关于$p$的表达。

   • 利用等差中项关系$2(2a_2)=a_1+3a_3$船舶求解$p$。

2. 第二问：

   • 核心任务：确定$a_{n+1}-a_n$的符号。

   • 符号判定：根据$\{a_{2n-1}\}$递增得$a_{2n+1}-a_{2n-1}>0$，根据$\{a_{2n}\}$递减得$a_{2n+2}-a_{2n}<0$。

   • 通过不等式组合推导出$(a_{2n+1}-a_{2n})+(a_{2n}-a_{2n-1})>0$，结合$|a_{n+1}-a_n|=(\frac{1}{2}{)}^n$的大小关系，判定出奇数项到偶数项为正，偶数项到奇数项为负。

   • 计算通项：利用累加法$a_n=a_1+{\sum }_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)$，分$n$为奇数和偶数进行讨论。

✅【答案】

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$p=\frac{1}{3}$；当$n$为偶数时；当$n$为奇数时；$a_n=\frac{4}{3}+\frac{(-1{)}^n}{3\cdot 2^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为数列$\{a_n\}$是递增数列，所以$a_{n+1}-a_n=|a_{n+1}-a_n|=p^n$。则$a_2=a_1+p=1+p$， $a_3=a_2+p^2=1+p+p^2$又$a_1,2a_2,3a_3$组成等差数列，所以$2(2a_2)=a_1+3a_3⟹4(1+p)=1+3(1+p+p^2)$。 整理得：$3p^2-p=0$，解得$p=\frac{1}{3}$或$p=0$。 若$p=0$，则$a_n=1$为常列，不符合递增条件，舍去。故$p=\frac{1}{3}$。

(2) 解： 当$p=\frac{1}{2}$时，$|a_{n+1}-a_n|=(\frac{1}{2}{)}^n$。 由已知$\{a_{2n-1}\}$递增，$\{a_{2n}\}$递减，则： $a_{2n+1}-a_{2n-1}>0⟹(a_{2n+1}-a_{2n})+(a_{2n}-a_{2n-1})>0$

$a_{2n+2}-a_{2n}<0⟹(a_{2n+2}-a_{2n+1})+(a_{2n+1}-a_{2n})<0$ 由$|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{2^n}$知，差的绝对值随$n$增加而减少。为满足上述不等式，必有$a_{2n}-a_{2n-1}=\frac{1}{2^{2n-1}}$且$a_{2n+1}-a_{2n}=-\frac{1}{2^{2n}}$。

累加求通项：

1. 当$n$为偶数时，设$n=2m$： $a_{2m}=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_{2m}-a_{2m-1})$

   $a_{2m}=1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4})+\cdots +(\frac{1}{2^{2m-1}})$ 利用等比数列求和： $a_{2m}=1+\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4}{)}^m)}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{1}{4}(1-(\frac{1}{4}{)}^{m-1})}{1-\frac{1}{4}}$ 化简得$a_{2m}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3\cdot 2^{2m-1}}$。

2. 当$n$为奇数时，设定$n=2m+1$： $a_{2m+1}=a_{2m}+(a_{2m+1}-a_{2m})=\frac{4}{3}+\frac{1}{3\cdot 2^{2m-1}}-\frac{1}{2^{2m}}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^{2m}}$。

综合写出通项公式：

$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^{n-1}},& n\text{ 为奇数}\\ \frac{4}{3}+\frac{1}{3\cdot 2^{n-1}},& n\text{ 为偶数}\end{array}$

也可合并写为：$a_n=\frac{4}{3}+\frac{(-1{)}^n}{3\cdot 2^{n-1}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列通项公式与递推关系

2. 核心方法：第一问由递增去绝对值用等差中项求 $p$；第二问判奇偶项符号后累加法求通项

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 累加法与奇偶项递推

2. 结论推广: 通项可合并为 $a_n=\frac{4}{3}+\frac{(-1{)}^n}{3\cdot 2^{n-1}}$。

3. 方法推广: 可迁移到含绝对值递推的数列通项类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
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类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-17 解-数列通项
• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2023-新高考I卷-20 解-数列