2022-乙卷文-06 单-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$，若 $|AF|=|BF|$，则 $|AB|=$ () A. 2　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. $3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 根据抛物线方程 $y^2=4x$ 求出焦点 $F(1,0)$ 及准线方程 $x=-1$。
2. 利用两点距离公式求出 $|BF|$。
3. 利用抛物线定义将 $|AF$ 转化为点 $A$ 到准线的距离，结合 $|AF|=|BF|$ 求出点 $A$ 的横坐标，进而求出点 $A$ 的坐标与 $|AB|$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。 点 $B(3,0)$，则 $|BF|=3-1=2$。 因为 $|AF|=|BF|$，所以 $|AF|=2$。 设点 $A(x_0,y_0)$，由抛物线定义可知，点 $A$ 到准线 $x=-1$ 的距离等于 $|AF|$，即 $x_0+1=2$，解得 $x_0=1$。 代入 $y^2=4x$ 得 $y_0^2=4$，即 $y_0=\pm 2$，故点 $A(1,2)$ 或 $(1,-2)$。 利用两点间距离公式求 $|AB|$： $|AB|=\sqrt{(1-3{)}^2+(\pm 2-0{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线定义（焦半径转化）。
2. 核心方法：定义法与坐标法结合。
3. 避坑指南：熟练运用“抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线经典基础题。
2. 结论推广：抛物线中涉及焦点的几何图形性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义