2022-乙卷文-16 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及对数的性质。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 若函数 $f(x)=\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+b$ 是奇函数，则 $a=$, $b=$.

🔍【思路分析】

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1. 根据奇函数定义，若定义域包含 0，则 $f(0)=0$，从而建立 $a$ 与 $b$ 的关系。
2. 利用 $f(-x)+f(x)=0$ 恒成立，化简并求出 $a$ 的值，进而求出 $b$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$，$\ln 2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是奇函数，当定义域包含 0 时，必有 $f(0)=0$， 即 $f(0)=\ln |a+1|+b=0⟹b=-\ln |a+1|$。 又由 $f(-x)+f(x)=0$ 可得： $\ln \left|a+\frac{1}{1+x}\right|+\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+2b=0$， 即 $\ln \left|\left(a+\frac{1}{1+x}\right)\left(a+\frac{1}{1-x}\right)\right|=-2b=2\ln |a+1|$。 展开括号得： $a^2+a\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)+\frac{1}{1-x^2}=a^2+\frac{2a+1}{1-x^2}$。 要使该式为常数，必须使 $\frac{1}{1-x^2}$ 的系数为 0，即 $2a+1=0⟹a=-\frac{1}{2}$。 此时常数项为 $a^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，故 $-2b=\ln \frac{1}{4}=-2\ln 2⟹b=\ln 2$。 答案：$-\frac{1}{2},\ln 2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性。
2. 核心方法：恒成立条件法。
3. 避坑指南：注意奇函数在定义域包含原点时 $f(0)=0$ 的必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：函数性质综合题。
2. 结论推广：复合函数奇偶性的判定与应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2015-北京卷文-3
• 2023-新高考II卷-04 单-函数性质