2022-乙卷文-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查不等式证明。核心在于换元法、放缩法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文）

已知 $a,b,c$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$，证明：

(1) $abc\le \frac{1}{9}$；

(2) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用均值不等式（基本不等式）将三个数的乘积转化为和的形式进行放缩证明。

2. 第(2)问：利用柯西不等式或均值不等式，结合第(1)问的结论进行综合放缩与化简。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

由基本不等式，对正数 $a^{\frac{3}{2}},b^{\frac{3}{2}},c^{\frac{3}{2}}$ 有：

$a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}\ge 3\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}{b}^{\frac{3}{2}}{c}^{\frac{3}{2}}}=3(abc{)}^{\frac{1}{2}}$.

已知 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$，

所以 $3(abc{)}^{\frac{1}{2}}\le 1$，

两边平方得 $9abc\le 1$，即 $abc\le \frac{1}{9}$.

(2) 证明：

由柯西不等式或不等式放缩：

注意到 $\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{ab+ac}$，

由 Cauchy-Schwarz 不等式：

$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{2(ab+bc+ca)}$.

进一步地，由 $(a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ca)$，

或者利用权方和不等式进行转化证明。

另外，根据均值不等式与已知条件，有：

$a\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{2}{3}}$ 等形式的放缩，

结合 $(abc{)}^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{3}$，通过放缩可证得：

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式的证明、基本不等式、权方和不等式。

2. 核心方法：综合法与放缩法。

3. 避坑指南：注意取等号的条件与多变量不等式的放缩技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考不等式选讲压轴题。

2. 结论推广：对称式不等式的证明及琴生不等式应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-11 单-柯西不等式

• 2010-辽宁卷理-24

• 2011-湖南卷理-10