2011-湖南卷理-10 填-不等式恒成立

本题导读

本题考查基本不等式及其变形，以及柯西不等式。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 设 $x,y\in \mathbf{R}$，且 $xy\ne 0$，则 $\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+4y^2\right)$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（展开法）：展开多项式得到 $1+4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}+4=5+\left(4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}\right)$，利用基本不等式求解。
2. 方法二（柯西不等式）：利用二维柯西不等式 $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)⩾(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2$ 直接配凑求最值。
3. 检验等号成立的充要条件。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

展开原式得： $\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+4y^2\right)=x^2\cdot \frac{1}{x^2}+4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}+\frac{1}{y^2}\cdot 4y^2$ $=1+4+\left(4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}\right)=5+\left(4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}\right)$。

因为 $xy\ne 0$，所以 $4x^2{y}^2>0$ 且 $\frac{1}{x^2{y}^2}>0$。 由基本不等式可得： $4x^2{y}^2+\frac{1}{x^2{y}^2}⩾2\sqrt{4x^2{y}^2\cdot \frac{1}{x^2{y}^2}}=2\sqrt{4}=4$。 当且仅当 $4x^2{y}^2=\frac{1}{x^2{y}^2}$，即 $x^2{y}^2=\frac{1}{2}$（如取 $x=1,y=\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，等号成立。

所以原式的最小值为： $5+4=9$。

故填：9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：展开多项式后利用 $A+B⩾2\sqrt{AB}$ 求最值。
• 核心方法：遇到双因式乘积且含有互为倒数因式时，优先展开化为常数项与倒数和的形式。
• 避坑指南：必须验证等号能否取得，即检查方程 $4(xy{)}^2=\frac{1}{(xy{)}^2}⟹(xy{)}^2=\frac{1}{2}$ 是否在实数范围内有解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自选修 4-5《不等式选讲》中的柯西不等式或基本不等式的经典搭配题。
• 结论推广：对任意实数 $a,b>0$，有 $\left(x^2+\frac{a}{y^2}\right)\left(\frac{b}{x^2}+c{y}^2\right)⩾(\sqrt{b}+\sqrt{ac}{)}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-24 解-不等式证明
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2022-乙卷文-23 解-不等式选讲