2022-乙卷理-03 单-向量数量积

本题导读

本题考查向量的模，以及定义与运算。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=\sqrt{3}$，$|\vec{a}-2\vec{b}|=3$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（代数法）：利用向量的模与向量平方的转化关系 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$。将已知条件 $|\vec{a}-2\vec{b}|=3$ 的两边同时平方，展开后代入已知的模长，即可构建出只含有目标量 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的一元一次方程。

2. 方法二（几何法）：将向量运算转化为几何平面内的三角形。构造一个以 $\vec{a},2\vec{b},\vec{a}-2\vec{b}$ 为三边的三角形，利用余弦定理求出向量夹角的余弦值，进而代入数量积定义公式求解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：整体平方化法（代数通法）

1. 等式两边平方：

   已知 $|\vec{a}-2\vec{b}|=3$．

   等式两边同时平方，得：

   $(\vec{a}-2\vec{b}{)}^2=3^2$

2. 展开并化简：

   根据向量数量积的运算律进行展开：

   ${\vec{a}}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+4{\vec{b}}^2=9$

3. 代入已知模长求解：

   因为 ${\vec{v}}^2=|\vec{v}{|}^2$，且 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=\sqrt{3}$，代入上式：

   1^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4(\sqrt{3})^2 = 9$$$$1 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 12 = 9

   整理得：

   $13-4\vec{a}\cdot \vec{b}=9⟹4\vec{a}\cdot \vec{b}=4$

   解得：

   $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$

方法二：余弦定理法（几何视角）

4. 构造三角形模型：

   在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=2\vec{b}$。

   根据向量减法的三角形法则，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-2\vec{b}$。

   这样就构成了一个 $△OAB$。

5. 确定三边长度：

   • $OA=|\vec{a}|=1$

   • $OB=|2\vec{b}|=2|\vec{b}|=2\sqrt{3}$

   • $BA=|\vec{a}-2\vec{b}|=3$

6. 应用余弦定理：

   设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$（即 $\angle AOB=\theta$）。

   在 $△OAB$ 中，由余弦定理得：

   $\cos \theta =\frac{O{A}^2+O{B}^2-B{A}^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\frac{1^2+(2\sqrt{3}{)}^2-3^2}{2\times 1\times 2\sqrt{3}}=\frac{1+12-9}{4\sqrt{3}}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

7. 计算数量积：

   根据数量积定义：

   $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta =1\times \sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}=1$

结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理平面向量模长的加减组合（如 $|\lambda \vec{a}\pm \mu \vec{b}|=k$），“两边平方” 是最为普适、高效的通法，应形成第一反应。

• 规律总结：向量的代数展开式 $(\vec{a}-\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与平面几何中的余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 在数学本质上是完全等价的。这也说明了代数运算背后强烈的几何意义。

• 避坑指南：展开平方时，交叉项的系数切勿遗漏。例如本题中 $-2\vec{a}\cdot (2\vec{b})$ 应当是 $-4\vec{a}\cdot \vec{b}$，很多粗心的考生会将其错写为 $-2\vec{a}\cdot \vec{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理