2022-乙卷理-07 单-空间位置关系

本题导读

本题考查面面垂直的判定，以及面面平行的判定。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，则()

A. 平面 $B_{1}EF\perp$ 平面 $BD{D}_1$　　　　　　　　B. 平面 $B_{1}EF\perp$ 平面 $A_{1}BD$

C. 平面 $B_{1}EF\parallel$ 平面 $A_{1}AC$　　　　　　　　D. 平面 $B_{1}EF\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}D$

🔍【思路分析】

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1. 判定 A 选项（面面垂直）：利用中位线性质得出 $EF\parallel AC$。结合正方体性质，底面对角线 $AC$ 垂直于对角面 $BD{D}_1$。由线线平行推导线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理（包含垂线的平面与原平面垂直）即可证明 A 正确。

2. 判定 B 选项（面面垂直）：利用平面 $BD{D}_1$ 与平面 $A_{1}BD$ 并不垂直的常识，或通过相交关系排除。

3. 判定 C 选项（面面平行）：若两个平面平行，则一个平面内的任意直线必然平行于另一个平面。在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 内观察 $B_{1}E$ 与 $A{A}_1$ 的关系，发现它们必相交，从而否定面面平行。

4. 判定 D 选项（面面平行）：利用正方体中经典的平行截面 $A{B}_{1}C\parallel A_1{C}_{1}D$ 作为参照。由于平面 $B_{1}EF$ 与截面 $A{B}_{1}C$ 不重合且有公共点 $B_1$，故平面 $B_{1}EF$ 不可能平行于平面 $A_1{C}_{1}D$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定 A 选项（面面垂直证明）：

在底面正方形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点，

根据三角形中位线定理，得 $EF\parallel AC$。

在正方体中，底面对角线互相垂直，即 $AC\perp BD$。

又因为侧棱 $D{D}_1\perp$ 底面 $ABCD$，且 $AC\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $AC\perp D{D}_1$。

因为 $BD\cap D{D}_1=D$，且 $BD,D{D}_1\subset$ 平面 $BD{D}_1$，

所以 $AC\perp$ 平面 $BD{D}_1$。

又因为 $EF\parallel AC$，所以 $EF\perp$ 平面 $BD{D}_1$。

因为直线 $EF\subset$ 平面 $B_{1}EF$，根据面面垂直的判定定理，

得到：平面 $B_{1}EF\perp$ 平面 $BD{D}_1$。

故 A 选项正确。

2. 判定 B 选项：

由 A 选项可知，平面 $B_{1}EF\perp$ 平面 $BD{D}_1$。

而平面 $A_{1}BD$ 与平面 $BD{D}_1$ 的交线为 $BD$。平面 $A_{1}BD$ 显然是一个倾斜截面，它与对角面 $BD{D}_1$ 的二面角并非直角。由于平面 $B_{1}EF$ 已经垂直于平面 $BD{D}_1$，它在一般情况下不可能同时垂直于与 $BD{D}_1$ 成非直角的平面 $A_{1}BD$（严格来说 $EF$ 在平面 $A_{1}BD$ 上的体现不垂直该平面）。

故 B 选项错误。

3. 判定 C 选项：

观察侧面 $AB{B}_1{A}_1$，直线 $B_{1}E$ 与侧棱 $A{A}_1$ 均在该侧面内。

由于 $E$ 是 $AB$ 中点，直线 $B_{1}E$ 倾斜，其延长线必然与侧棱 $A{A}_1$ 的延长线相交。

因为 $A{A}_1\subset$ 平面 $A_{1}AC$，若平面 $B_{1}EF\parallel$ 平面 $A_{1}AC$，则 $B_{1}E$ 必平行于平面 $A_{1}AC$。

但 $B_{1}E$ 实际上与该平面内的直线 $A{A}_1$ 相交，产生矛盾。

故平面 $B_{1}EF$ 与平面 $A_{1}AC$ 相交而不平行。C 选项错误。

4. 判定 D 选项：

根据正方体的经典结构，截面 $A{B}_{1}C\parallel$ 截面 $A_1{C}_{1}D$。

如果平面 $B_{1}EF\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}D$，由平行的传递性，平面 $B_{1}EF$ 必须平行于或重合于平面 $A{B}_{1}C$。

但平面 $A{B}_{1}C$ 与平面 $B_{1}EF$ 有一个明显的公共点 $B_1$，且 $EF$ 不与 $AC$ 重合，两者是相交平面。

因此，平面 $B_{1}EF$ 不可能平行于平面 $A_1{C}_{1}D$。

故 D 选项错误。

结论：

综上所述，唯一正确的选项是 A．

【解法二】（建系）解：在正方体$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，

$AC\perp BD$且$D{D}_1\perp$平面$ABCD$，

又$EF\subset$平面$ABCD$，所以$EF\perp D{D}_1$，

因为$E,F$分别为$AB,BC$的中点，

所以$EF\parallel AC$，所以$EF\perp BD$，

又$BD\bigcap D{D}_1=D$，

所以$EF\perp$平面$BD{D}_1$，

又$EF\subset$平面$B_{1}EF$，

所以平面$B_{1}EF\perp$平面$BD{D}_1$，故A正确；

如图，以点$D$为原点，建立空间直角坐标系，设$AB=2$，

则$B_1\left(2,2,2\right),E\left(2,1,0\right),F\left(1,2,0\right),B\left(2,2,0\right),A_1\left(2,0,2\right),A\left(2,0,0\right),C\left(0,2,0\right)$，$C_1\left(0,2,2\right)$，

则$\overrightarrow{EF}=\left(-1,1,0\right),\overrightarrow{E{B}_1}=\left(0,1,2\right)$，$\overrightarrow{DB}=\left(2,2,0\right),\overrightarrow{D{A}_1}=\left(2,0,2\right)$，

$\overrightarrow{A{A}_1}=\left(0,0,2\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2,2,0\right),\overrightarrow{A_1{C}_1}=\left(-2,2,0\right),$

设平面$B_{1}EF$的法向量为$\overrightarrow{m}=\left(x_1,y_1,z_1\right)$，

则有\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{m}\cdot =-{{x}_{1}}+{{y}_{1}}=0  \\\overset{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}{m}\cdot ={{y}_{1}}+2{{z}_{1}}=0  \\\end{array} \right.，

可取$\overrightarrow{m}=\left(2,2,-1\right)$，

同理可得平面$A_{1}BD$的法向量为$\overrightarrow{n_1}=\left(1,-1,-1\right)$，

平面$A_{1}AC$的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\left(1,1,0\right)$，

平面$A_1{C}_{1}D$的法向量为$\overrightarrow{n_3}=\left(1,1,-1\right)$，

则$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n_1}=2-2+1=1\ne 0$，

所以平面$B_{1}EF$与平面$A_{1}BD$不垂直，故B错误；

因为$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n_2}$不平行，所以平面$B_{1}EF$与平面$A_{1}AC$不平行，故C错误；

因为$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n_3}$不平行，所以平面$B_{1}EF$与平面$A_1{C}_{1}D$不平行，故D错误， 故选：A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 熟悉正方体的二级结论：“底面对角线 $AC\perp$ 对角截面 $BD{D}_1$” 是解决此类垂直判定问题的黄金结论，建议直接作为常识快速求解。

  2. 相交排除法证明不平行：证明面面不平行，最快的方法就是在两个平面内分别找到一条必然相交的直线（如 C 选项中的 $B_{1}E$ 与 $A{A}_1$）。

• 规律总结：在正方体中，由顶点和棱中点构成的截面（如 $B_{1}EF$），其位置特征完全依赖于其边界线段（$EF$ 和 $B_{1}E,B_{1}F$）与正方体经典骨架（如对角线 $AC$、侧棱 $A{A}_1$）的关系。

• 避坑指南：处理 B 选项时，不要被复杂的视觉错觉误导。平面 $B_{1}EF$ 与平面 $A_{1}BD$ 的夹角判定较难直接计算，但在单选题中，只要严格证明出了 A 项正确，且其他两项明显相交，即可大胆锁定答案。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-18 解-线面垂直
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定
• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直