2022-乙卷理-09 单-球与四棱锥

本题导读

本题考查球的截面性质，以及四棱锥。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知球 $O$ 的半径为 $1$，四棱锥的顶点为 $O$，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 确定底面面积的最值状态：设四棱锥的高为 $h$，则底面所在的截面圆的半径 $r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{1-h^2}$。在给定截面圆的情况下，内接四边形面积最大的必然是正方形，其最大面积为 $S=2r^2$。

2. 构建体积函数模型：将四棱锥的体积表示为关于高 $h$（或底面边长、截面圆半径）的函数。

3. 求解最值：

   • 路径一（基本不等式）：对体积的平方或利用配凑技巧应用三元基本不等式（均值不等式）求最大值及取等条件。

   • 路径二（导数法）：将体积表示为单变量 $h$ 的多项式函数，通过求导寻找极值点和最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：基本不等式法（设底面半径 $r$ 和高 $h$）

1. 确定底面最大面积：

   设四棱锥底面为四边形 $ABCD$，所在小圆半径为 $r$。

   设对角线夹角为 $\alpha$，则底面面积 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \alpha ⩽\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot 2r\cdot 1=2r^2$。

   当且仅当四边形 $ABCD$ 为正方形时等号成立。

2. 建立体积表达式：

   根据球的截面性质，$r^2+h^2=R^2=1$。

   则体积 $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot h⩽\frac{1}{3}\cdot 2r^2\cdot h=\frac{2}{3}{r}^{2}h$。

3. 应用基本不等式：

   为了求 $r^{2}h$ 的最大值，我们将 $h$ 放入平方根中凑项：

   $V⩽\frac{2}{3}{r}^{2}h=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{r^2\cdot r^2\cdot 2h^2}$

   因为 $r^2+r^2+2h^2=2(r^2+h^2)=2\times 1=2$（定值），由三元基本不等式 $abc⩽{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3$ 得：

   $V⩽\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{{\left(\frac{r^2+r^2+2h^2}{3}\right)}^3}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3}=\frac{4\sqrt{3}}{27}$

4. 确定取等条件：

   当且仅当 $r^2=2h^2$ 时等号成立。

   代入 $r^2+h^2=1$ 得 $3h^2=1⟹h=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

解法二：导数求最值法（通性通法）

1. 构建体积函数：

   由解法一可知，当底面为正方形时体积最大，且 $r^2=1-h^2$。

   底面面积 $S=2r^2=2(1-h^2)$。

   体积函数 $V(h)=\frac{1}{3}Sh=\frac{2}{3}(1-h^2)h=\frac{2}{3}(h-h^3)$，其中 $h\in (0,1)$。

2. 利用导数求最值：

   对 $V(h)$ 求导得：$V^{\prime }(h)=\frac{2}{3}(1-3h^2)$。

   令 $V^{\prime }(h)=0$，因为 $h>0$，解得 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

   • 当 $h\in (0,\frac{\sqrt{3}}{3})$ 时，$V^{\prime }(h)>0$，函数 $V(h)$ 单调递增；

   • 当 $h\in (\frac{\sqrt{3}}{3},1)$ 时，$V^{\prime }(h)<0$，函数 $V(h)$ 单调递减。

     故当 $h=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，四棱锥的体积 $V(h)$ 取得最大值。

解法三：设底面边长 $a$ 的代数法

1. 设最大体积对应的正四棱锥底面边长为 $a$，则底面积 $S=a^2$。

2. 底面外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

3. 高 $h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{1-\frac{a^2}{2}}$。

4. 体积 $V=\frac{1}{3}{a}^2\sqrt{1-\frac{a^2}{2}}$。

   $V=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot \frac{a^2}{4}\cdot \left(1-\frac{a^2}{2}\right)}$

   由均值不等式：

   $V⩽\frac{4}{3}\sqrt{{\left(\frac{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+1-\frac{a^2}{2}}{3}\right)}^3}=\frac{4}{3}\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}=\frac{4\sqrt{3}}{27}$

5. 当且仅当 $\frac{a^2}{4}=1-\frac{a^2}{2}⟹a^2=\frac{4}{3}$ 时取最大值。

   此时高 $h=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

结论：

对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 几何极值常识：在给定圆内接多边形中，正多边形的面积最大。这是化简立体几何最值问题的第一步（即把不确定的四边形转化为正方形）。

  2. 基本不等式的凑项：在解法一中，为了消除变量 $r$ 和 $h$，必须将 $r^2\cdot h$ 转化为 $\sqrt{r^2\cdot r^2\cdot 2h^2}$，这样才能利用 $r^2+h^2=1$ 的定值。这种“拆分配系数”是基本不等式的高阶应用。

• 规律总结：球内接几何体的最值问题，如果不擅长拼凑基本不等式，**“列出单变量函数 + 求导”**是绝对万能的防错底线（如解法二）。

• 避坑指南：球的半径 $R=1$，四棱锥的顶点在球心，这意味着高 $h$ 恰好是从球心到截面圆的距离，满足 $r^2+h^2=R^2$。如果顶点在球面上，高度关系则为 $h=R\pm \sqrt{R^2-r^2}$，审题时必须看清“顶点为 $O$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式