2022-乙卷理-10 单-相互独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件，以及互斥事件与对立事件。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_1$，$p_2$，$p_3$，且 $p_3>p_2>p_1>0$．记该棋手连胜两盘的概率为 $p$，则()

A. $p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B. 该棋手在第二盘与甲比赛，$p$ 最大

C. 该棋手在第二盘与乙比赛，$p$ 最大

D. 该棋手在第二盘与丙比赛，$p$ 最大

🔍【思路分析】

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1. 明确“连胜两盘”的事件构成：比赛共三盘，“连胜两盘”意味着“赢得第 1、2 盘”或者“赢得第 2、3 盘”。

2. 方法一（严密代数推导）：设三盘比赛的对手胜率依次为 $q_1,q_2,q_3$。写出连胜两盘的概率表达式 $p$，然后分别将甲、乙、丙放在第二盘（即令 $q_2$ 分别等于 $p_1,p_2,p_3$），通过代数作差比较三种情况下的概率大小。

3. 方法二（逻辑直觉快速求解）：分析“连胜两盘”的核心条件——无论哪种连胜情况，第二盘（中间盘）必须获胜。因此，第二盘是连胜的“咽喉要道”，为了使整体概率最大，必须将最容易战胜的对手（即胜率最大的对手）安排在第二盘。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数表达式作差比较法（严密推导）

设棋手在第 1, 2, 3 盘比赛中获胜的概率分别为 $q_1,q_2,q_3$（其中 $\{q_1,q_2,q_3\}$ 是 $\{p_1,p_2,p_3\}$ 的一个排列）。

“连胜两盘”的事件，可以是“恰好连胜两盘”（赢前两盘输第三盘，或输第一盘赢后两盘），也可以包含“三盘全胜”。

(注：无论是否包含三盘全胜，推导出的结论均一致。此处以一般理解的“至少连胜两盘”即 $A_1{A}_2\cup A_2{A}_3$ 为例)

记事件 $M$ 为连胜两盘，则：

$p=P(M)=P(\text{赢 1,2 负 3})+P(\text{负 1 赢 2,3})+P(\text{三盘全胜})$

$p=q_1{q}_2(1-q_3)+(1-q_1)q_2{q}_3+q_1{q}_2{q}_3$

展开并化简：

$p=q_1{q}_2-q_1{q}_2{q}_3+q_2{q}_3-q_1{q}_2{q}_3+q_1{q}_2{q}_3$

$p=q_1{q}_2+q_2{q}_3-q_1{q}_2{q}_3=q_2(q_1+q_3)-q_1{q}_2{q}_3$

现在我们比较将甲、乙、丙分别放在第二盘的概率大小：

• 若第二盘与甲比赛（$q_2=p_1$），另外两盘为乙和丙：

  $P_{\text{甲}}=p_1(p_2+p_3)-p_1{p}_2{p}_3=p_1{p}_2+p_1{p}_3-p_1{p}_2{p}_3$

• 若第二盘与乙比赛（$q_2=p_2$），另外两盘为甲和丙：

  $P_{\text{乙}}=p_2(p_1+p_3)-p_1{p}_2{p}_3=p_1{p}_2+p_2{p}_3-p_1{p}_2{p}_3$

• 若第二盘与丙比赛（$q_2=p_3$），另外两盘为甲和乙：

  $P_{\text{丙}}=p_3(p_1+p_2)-p_1{p}_2{p}_3=p_1{p}_3+p_2{p}_3-p_1{p}_2{p}_3$

进行作差比较（注意公共项 $p_1{p}_2{p}_3$ 会被抵消）：

$P_{\text{丙}}-P_{\text{乙}}=(p_1{p}_3+p_2{p}_3)-(p_1{p}_2+p_2{p}_3)=p_1{p}_3-p_1{p}_2=p_1(p_3-p_2)$

因为 $p_3>p_2>p_1>0$，所以 $p_3-p_2>0$ 且 $p_1>0$，故 $P_{\text{丙}}-P_{\text{乙}}>0$，即 $P_{\text{丙}}>P_{\text{乙}}$。

同理作差：

$P_{\text{丙}}-P_{\text{甲}}=(p_1{p}_3+p_2{p}_3)-(p_1{p}_2+p_1{p}_3)=p_2{p}_3-p_1{p}_2=p_2(p_3-p_1)>0$

故 $P_{\text{丙}}>P_{\text{甲}}$。

综合可知，$P_{\text{丙}}$ 最大。即该棋手在第二盘与丙比赛时，$p$ 最大。

方法二：概率逻辑“咽喉要道”法（考场 5 秒极速快速求解）

思考“连胜两盘”的必要条件：

无论是“第 1、2 盘连胜”，还是“第 2、3 盘连胜”，第二盘比赛都是必须要赢的。

换句话说，第二盘是达成连胜目标的“咽喉要道”。第二盘如果输了，绝对不可能连胜。

因此，为了最大化整体连胜的概率，必须把最有把握赢的比赛安排在至关重要的第二盘。

已知 $p_3>p_2>p_1$，战胜丙的概率 $p_3$ 最大，所以把丙安排在第二盘，连胜的概率最大。

结论：

对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：在处理特定的排列概率极值问题时，寻找事件发生的**“必经节点（交集项）”**。在本题三盘两胜的模型中，中间的一局具有最高的战略权重。

• 规律总结：本题改编自经典的概率论模型“斯密斯网球问题（或父子下棋问题）”。该模型的泛化结论为：要在一个序列中取得连续的成功，应该将最高成功率的独立事件放置在序列“被覆盖次数最多”的中心位置。

• 避坑指南：

  • 很多考生可能会直觉上认为，把最强和最弱的对手分开，或者随意排列。切忌用主观感觉代替概率逻辑。

  • 在用代数法推导时，无论将“连胜两盘”理解为“恰好两盘”还是“至少两盘”，作差比较时三次项（含 $p_1{p}_2{p}_3$ 的项）由于其完全对称性都会相互抵消，不影响最终大小关系的判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个
• 2008-湖南卷文-16 解-面试签约概率
• 2010-江西卷文-18 解-迷宫行走概率