2022-乙卷理-11 单-双曲线与圆

本题导读

本题考查定义与几何性质，以及相切关系。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_1$，$F_2$，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$，过 $F_1$ 作 $D$ 的切线与 $C$ 交于 $M$，$N$ 两点，且 $\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{3}{5}$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{13}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{17}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 翻译切线条件：以实轴为直径的圆即为辅助圆 $x^2+y^2=a^2$。从焦点 $F_1$ 向其作切线，利用直角三角形性质可求得切线长恰好等于半虚轴长 $b$。

2. 构造直角三角形：过另一个焦点 $F_2$ 向切线作垂线，垂足为 $Q$。利用圆心 $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点这一性质，可推导出 $F_{2}Q=2a$，$F_{1}Q=2b$。

3. 解直角 $△F_{2}QN$：在 $\text{Rt}△F_{2}QN$ 中，利用已知的余弦值 $\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{3}{5}$ 算出 $F_{2}N$ 和 $QN$ 的长度（用 $a$ 表示）。

4. 分类讨论（核心）：点 $N$ 究竟位于双曲线的哪一支上？

   • 情况一（命题人预设）：点 $N$ 位于离 $F_2$ 近的那一支（右支），结合双曲线定义求出 $b$ 与 $a$ 的关系，得出选项 C。

   • 情况二（被忽视的盲区）：点 $N$ 位于离 $F_1$ 近的那一支（左支），切线较陡，与左支有两个交点，结合双曲线定义得出选项 A。

✅【答案】

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C（或 A）

(注：本题为 2022 年高考著名争议题，A 与 C 均在数学上严格成立，官方当年默认答案为 C，后学界公认 A 同样正确)

✍【详细解析】

Abstract

1. 提取切线与辅助圆的几何性质：

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，左焦点为 $F_1(-c,0)$，右焦点为 $F_2(c,0)$。

圆 $D$ 以实轴为直径，其方程为 $x^2+y^2=a^2$。

设过 $F_1$ 的直线与圆 $D$ 相切于点 $P$。

连接 $OP$，则 $OP\perp F_{1}P$。在 $\text{Rt}△F_{1}PO$ 中，$OP=a$，$O{F}_1=c$。

故切线长 $|F_{1}P|=\sqrt{c^2-a^2}=b$。

2. 构造 $F_2$ 到切线的距离：

设过 $F_1$ 的切线为 $l$。过 $F_2$ 作 $F_{2}Q\perp l$，垂足为 $Q$。

因为 $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点，且 $OP\perp l,F_{2}Q\perp l$，所以 $OP\parallel F_{2}Q$，且 $OP$ 是 $△F_1{F}_{2}Q$ 的中位线。

由此可得：$|F_{2}Q|=2|OP|=2a$；$|F_{1}Q|=2|F_{1}P|=2b$。

3. 利用三角函数求线段长度：

直线 $l$ 上依次有 $F_1,P,N$ 等点。

在 $\text{Rt}△F_{2}QN$ 中，$\angle F_{2}QN=90^{\circ }$。

因为 $\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{3}{5}$，所以 $\sin \angle F_{1}N{F}_2=\frac{4}{5}$。

$\sin \angle F_{2}NQ=\frac{|F_{2}Q|}{|F_{2}N|}=\frac{2a}{|F_{2}N|}=\frac{4}{5}⟹|F_{2}N|=\frac{5a}{2}$。

$|QN|=|F_{2}N|\cdot \cos \angle F_{2}NQ=\frac{5a}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3a}{2}$。

4. 分类讨论 $N$ 的位置及离心率求解：

情况一：点 $N$ 位于双曲线右支（选项 C）

根据双曲线定义：$|N{F}_1|-|N{F}_2|=2a⟹|N{F}_1|=\frac{5a}{2}+2a=\frac{9a}{2}$。

此时在直线 $l$ 上，点 $Q$ 位于 $F_1$ 和 $N$ 之间。

$|N{F}_1|=|NQ|+|F_{1}Q|⟹\frac{9a}{2}=\frac{3a}{2}+2b⟹2b=3a⟹b=\frac{3}{2}a$。

离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。

此时切线斜率为 $\pm \frac{2}{3}$，渐近线斜率为 $\pm \frac{3}{2}$。切线穿过两支各交一点，符合题意。（C 项正确）

情况二：点 $N$ 位于双曲线左支（选项 A）

根据双曲线定义：$|N{F}_2|-|N{F}_1|=2a⟹|N{F}_1|=\frac{5a}{2}-2a=\frac{a}{2}$。

此时在直线 $l$ 上，点 $F_1$ 位于 $N$ 和 $Q$ 之间。

$|NQ|=|N{F}_1|+|F_{1}Q|⟹\frac{3a}{2}=\frac{a}{2}+2b⟹2b=a⟹b=\frac{1}{2}a$。

离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

此时切线斜率为 $\pm 2$，渐近线斜率为 $\pm \frac{1}{2}$。由于切线比渐近线陡峭且过焦点，必然与左支交于两点 $M,N$。逻辑同样完全自洽！（A 项正确）

结论：

本题 A、C 均为正确解。在实际考试中由于为单选题，往往按照出题人的惯性思维指向 C。

【解法二】（选项C不同解法依题意不妨设双曲线焦点在$x$轴，设过$F_1$作圆$D$的切线切点为$G$，

所以$OG\perp N{F}_1$，因为$\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{3}{5}>0$，所以$N$在双曲线的右支，

所以$\left|OG\right|=a$，$\left|O{F}_1\right|=c$，

$\left|G{F}_1\right|=b$，

设$\angle F_{1}N{F}_2=\alpha$，

$\angle F_2{F}_{1}N=\beta$，

由$\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{3}{5}$，

即$\cos \alpha =\frac{3}{5}$，则$\sin \alpha =\frac{4}{5}$，

.$\sin \beta =\frac{a}{c}$.，$\cos \beta =\frac{b}{c}$

，在$△F_2{F}_{1}N$中，

$\sin \angle F_1{F}_{2}N=\sin \left(\pi -\alpha -\beta \right)=\sin \left(\alpha +\beta \right)$

$=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\times \frac{b}{c}+\frac{3}{5}\times \frac{a}{c}=\frac{3a+4b}{5c}$，

由正弦定理得$\frac{2c}{\sin \alpha }=\frac{|N{F}_2|}{\sin \beta }=\frac{|N{F}_1|}{\sin \angle F_1{F}_{2}N}=\frac{5c}{2}$，

所以$\left|N{F}_1\right|=\frac{5c}{2}\sin \angle F_1{F}_{2}N=\frac{5c}{2}\times \frac{3a+4b}{5c}=\frac{3a+4b}{2}$，

$\left|N{F}_2\right|=\frac{5c}{2}\sin \beta =\frac{5c}{2}\times \frac{a}{c}=\frac{5a}{2}$

又$\left|N{F}_1\right|-\left|N{F}_2\right|=\frac{3a+4b}{2}-\frac{5a}{2}=\frac{4b-2a}{2}=2a$，

所以$2b=3a$，即$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，

所以双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$

故选C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 焦点切线定点模型：从焦点作辅助圆的切线，切线长一定等于虚半轴 $b$。

  2. 中位线投射法：利用圆心是焦点中点这一特性，将另一焦点向切线作垂线构造出一个两倍于基本尺寸的直角三角形，是双曲线中极其实用的几何构图。

• 规律总结（极其重要）：

  过双曲线焦点 $F$ 作直线的交点情况：

  • 若直线斜率的绝对值 $|k|<\frac{b}{a}$（比渐近线平缓），则直线与双曲线的左右两支各交于一点。

  • 若直线斜率的绝对值 $|k|>\frac{b}{a}$（比渐近线陡峭），则直线与焦点所在的那一支双曲线交于两点。

• 避坑指南：不要陷入“直线必然交于左右两支”的思维定势。正是因为命题专家遗漏了“交于同一支”的几何可能，才造就了这道高考史上著名的“双黄蛋”选择题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-天津-04
• 1998-全国卷理-14
• 2006-山东卷理-04 单-解三角形