2012-天津卷理-08 单-直线与圆相切

本题导读

本题考查直线与圆相切的条件，以及取值范围的代数化处理。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 设 $m,n\in \mathbb{R}$，若直线 $(m+1)x+(n+1)y-2=0$ 与圆 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ 相切，则 $m+n$ 的取值范围是()

A. $[1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}]$　　　　　B. $(-\infty ,1-\sqrt{3}]\cup [1+\sqrt{3},+\infty )$

C. $[2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}]$　　　　D. $(-\infty ,2-2\sqrt{2}]\cup [2+2\sqrt{2},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何条件代数化：相切等价于圆心到直线的距离等于半径 $1$。
2. 整理约束：去根号后化为 $mn=m+n+1$，把 $m+n$ 视为整体 $s$。
3. 存在性判别：把 $m,n$ 看作方程 $t^2-st+(s+1)=0$ 的两实根，用 $\Delta \ge 0$ 求 $s$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出相切条件 圆心为 $(1,1)$，半径 $r=1$。相切等价于圆心到直线的距离等于半径： $\frac{|(m+1)\cdot 1+(n+1)\cdot 1-2|}{\sqrt{(m+1{)}^2+(n+1{)}^2}}=1$ 即 $|m+n|=\sqrt{(m+1{)}^2+(n+1{)}^2}$。

第二步：整理约束关系 两边平方： $(m+n{)}^2=(m+1{)}^2+(n+1{)}^2$ $m^2+2mn+n^2=m^2+n^2+2(m+n)+2$ 化简得 $mn=m+n+1$。

第三步：转化为存在性问题 设 $s=m+n$，则 $m,n$ 是方程 $t^2-st+(s+1)=0$ 的两个实根，故 $\Delta =s^2-4(s+1)\ge 0$ 即 $s^2-4s-4\ge 0$，解得 $s\le 2-2\sqrt{2}$ 或 $s\ge 2+2\sqrt{2}$。 反之，当上述不等式成立时可取到实数 $m,n$ 满足题设，故 $m+n\in (-\infty ,2-2\sqrt{2}]\cup [2+2\sqrt{2},+\infty )$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切的充要条件，点到直线的距离公式。

核心方法：几何法——用”圆心到直线的距离等于半径”列出约束，再用判别式处理存在性。

避坑指南：$mn=m+n+1$ 是关于 $m,n$ 的约束，求 $m+n$ 的范围必须用判别式保证实数解存在，不能直接用基本不等式 $mn\le \frac{(m+n{)}^2}{4}$ 乱套。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自直线与圆相切的几何条件，与”点到直线距离公式”课后习题同源。

结论推广：一般地，若直线与圆相切且参数满足某约束，常把目标量设为整体 $s$，用 $\Delta \ge 0$ 保证实数解存在。

方法推广：“参数存在 $\iff$ 判别式非负”是把几何存在性问题代数化的常用手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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