2022-乙卷理-13 填-古典概型

本题导读

本题考查概率计算，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 从甲、乙等 $5$ 名同学中随机选 $3$ 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：从 $5$ 人中任选 $3$ 人，利用组合数公式 ${\text{C}}_5^3$ 计算总的可能性。

2. 确定满足条件的事件数：要求甲、乙都入选。这相当于甲、乙两个名额已定，只需要从剩下的 $3$ 人中再选出 $1$ 人即可，利用组合数 ${\text{C}}_3^1$ 计算。

3. 计算概率：利用古典概型公式 $P=\frac{m}{n}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：组合公式法（通法）

1. 计算样本空间总数 $n$：

   从 $5$ 名同学中随机选出 $3$ 名，不考虑顺序，总的选法数为：

   $n={\text{C}}_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$

2. 计算符合条件的事件数 $m$：

   若甲、乙都入选，则 $3$ 个名额中已有 $2$ 个被占用。

   剩下的 $1$ 个名额需从除去甲、乙之外的 $3$ 名同学中产生。

   故选法数为：

   $m={\text{C}}_{5-2}^{3-2}={\text{C}}_3^1=3$

3. 计算概率：

   $P=\frac{m}{n}=\frac{3}{10}$

解法二：列举法（直观验证）

设 $5$ 名同学分别为：甲、乙、丙、丁、戊。

从中选 $3$ 人的所有可能组合如下（共 10 种）：

• (甲,乙,丙), (甲,乙,丁), (甲,乙,戊) —— 含甲乙

• (甲,丙,丁), (甲,丙,戊), (甲,丁,戊)

• (乙,丙,丁), (乙,丙,戊), (乙,丁,戊)

• (丙,丁,戊)

其中同时包含“甲”和“乙”的组合有 $3$ 种（即前三种）。

故概率 $P=\frac{3}{10}$。

结论：

答案填入 $\frac{3}{10}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理“指定元素必选”的组合问题，核心策略是**“名额预留”**。即先把指定元素（甲、乙）放入结果中，再计算剩余空位的选法。

• 规律总结：从 $N$ 个元素中选 $M$ 个，指定 $k$ 个元素必须入选的概率公式为 $P=\frac{{\text{C}}_{N-k}^{M-k}}{{\text{C}}_N^M}$。

• 避坑指南：在使用组合数 ${\text{C}}_n^m$ 时，注意 $m\le n$ 的限制。本题中若要求“甲乙都不入选”，则 $m={\text{C}}_3^3=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷理-07 填-古典概型
• 2003-上海卷理-09
• 2008-上海卷理-07