2022-北京卷-01 单-集合补集

本题导读

本题考查补集，以及区间表示。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 已知全集 $U=\{x\mid -3<x<3\}$，集合 $A=\{x\mid -2<x\le 1\}$，则 ${\complement }_{U}A=($\quad\quad$)$

A. $(-2,1]$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-3,-2)\cup [1,3)$

C. $[-2,1)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-3,-2]\cup (1,3)$

🔍【思路分析】

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1. 识别集合类型：全集 $U$ 和子集 $A$ 均为连续的实数区间。

2. 明确运算对象：本题考查的是补集 ${\complement }_{U}A$，即要求在全集 $U$ 的范围内，剔除掉属于集合 $A$ 的部分，剩余元素所组成的集合。

3. 注意端点开闭：补集运算中，原集合包含的端点（实心），在补集中将不再包含（空心）；原集合不包含的端点（空心），在补集中若全集包含，则需要包含（实心）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接运算法（代数法）

1. 明确全集范围：$U=\{x\mid -3<x<3\}$，即区间 $(-3,3)$。

2. 明确集合 $A$ 的范围：$A=\{x\mid -2<x\le 1\}$，即区间 $(-2,1]$。

3. 求补集 ${\complement }_{U}A$：

   在 $-3<x<3$ 的前提下，去掉 $-2<x\le 1$ 的部分。

   • 小于等于左边界的部分：$-3<x\le -2$（注意：$A$ 中不含 $-2$，所以补集中包含 $-2$）。

   • 大于右边界的部分：$1<x<3$（注意：$A$ 中含 $1$，所以补集中不含 $1$）。

4. 综合可得：${\complement }_{U}A=\{x\mid -3<x\le -2\text{ 或 }1<x<3\}$。

5. 转化为区间表示为：$(-3,-2]\cup (1,3)$。

方法二：数轴分析法（直观推荐）

1. 在数轴上画出全集 $U$：标出从 $-3$ 到 $3$ 的线段，两端均为空心圆圈。

2. 在同一数轴上画出集合 $A$：标出从 $-2$ 到 $1$ 的线段，左端点 $-2$ 为空心圆圈，右端点 $1$ 为实心点。

3. 寻找补集区域：在全集 $U$ 的线段上，擦除掉集合 $A$ 覆盖的线段，观察剩下的部分。

4. 剩下的部分分为两段：

   • 左侧段：从 $-3$ 到 $-2$。因为擦除的 $A$ 在 $-2$ 处是空心的（没有带走 $-2$），所以留下的左侧段在 $-2$ 处是实心的，即 $(-3,-2]$。

   • 右侧段：从 $1$ 到 $3$。因为擦除的 $A$ 在 $1$ 处是实心的（带走了 $1$），所以留下的右侧段在 $1$ 处是空心的，即 $(1,3)$。

5. 合并两段，即为 $(-3,-2]\cup (1,3)$。

结论：对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧：处理连续区间的补集运算，强烈建议使用数轴法，可以直观地“割补”线段，避免逻辑遗漏。

2. 易错辨析（端点反转原则）：

   • 补集运算的易错点全在“端点”上。

   • 集合 $A$ 中是 < 或 >（空心），其补集中对应的端点就是 $\le$ 或 $\ge$（实心）。

   • 集合 $A$ 中是 $\le$ 或 $\ge$（实心），其补集中对应的端点就是 < 或 >（空心）。

3. 试题评价：本题主要考查补集的运算及区间的表示，重点考查基本运算求解能力，属于高考中的必拿分基础题（2022年北京卷高考真题）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-01 单-集合并集
• 2009-江西卷理-03
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定